cho phương trình x^2-2x-2m^2=0 tìm m đề phương trình thỏa mãn x1^2=4x2^2

Để giải phương trình x^2 - 2x - 2m^2 = 0, trước tiên ta nhận thấy rằng đây là một phương trình bậc hai dạng Ax^2 + Bx + C = 0 với A = 1, B = -2 và C = -2m^2.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x1, x2 = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)

Thay các giá trị A, B, C vào công thức, ta có:

x1, x2 = (2 ± √((-2)^2 - 4 1 (-2m^2))) / (2 * 1)

Tính toán phần dưới:

B^2 - 4AC = 4 + 8m^2 = 4(1 + 2m^2)

Do đó, phương trình có nghiệm trở thành:

x1, x2 = (2 ± √(4(1 + 2m^2))) / 2
= (2 ± 2√(1 + 2m^2)) / 2
= 1 ± √(1 + 2m^2)

Vậy nghiệm của phương trình là:

x1 = 1 + √(1 + 2m^2) và x2 = 1 - √(1 + 2m^2).

Theo yêu cầu của bài toán, ta cần tìm m sao cho thỏa mãn điều kiện x1^2 = 4x2^2.

Thay các giá trị x1 và x2 đã tìm được vào phương trình:

(1 + √(1 + 2m^2))^2 = 4(1 - √(1 + 2m^2))^2.

Mở rộng hai vế:

Bên trái:

(1 + √(1 + 2m^2))^2 = 1 + 2√(1 + 2m^2) + (1 + 2m^2)
= 2 + 2m^2 + 2√(1 + 2m^2).

Bên phải:

4(1 - √(1 + 2m^2))^2 = 4(1 - 2√(1 + 2m^2) + (1 + 2m^2))
= 4(2 + 2m^2 - 2√(1 + 2m^2))
= 8 + 8m^2 - 8√(1 + 2m^2).

Bây giờ ta thay các biểu thức này vào và tạo thành một phương trình:

2 + 2m^2 + 2√(1 + 2m^2) = 8 + 8m^2 - 8√(1 + 2m^2).

Đưa tất cả các hạng tử về một phía:

2 + 2m^2 + 2√(1 + 2m^2) - 8 - 8m^2 + 8√(1 + 2m^2) = 0
-6m^2 + 10√(1 + 2m^2) - 6 = 0.

Rút gọn phương trình:

-6m^2 + 10√(1 + 2m^2) = 6
=> 10√(1 + 2m^2) = 6m^2 + 6
=> √(1 + 2m^2) = (6m^2 + 6) / 10
=> √(1 + 2m^2) = (3m^2 + 3) / 5.

Bình phương hai vế:

1 + 2m^2 = (3m^2 + 3)^2 / 25
=> 25(1 + 2m^2) = (3m^2 + 3)(3m^2 + 3)
=> 25 + 50m^2 = 9m^4 + 18m^2 + 9
=> 0 = 9m^4 - 32m^2 - 16.

Ta đặt t = m^2, dẫn đến phương trình bậc 4:

9t^2 - 32t - 16 = 0.

Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai này:

t = [32 ± √(32^2 - 4 9 (-16))] / (2 * 9)
t = [32 ± √(1024 + 576)] / 18
t = [32 ± √(1600)] / 18
t = [32 ± 40] / 18.

Tính nghiệm:

t1 = (72) / 18 = 4
t2 = (-8) / 18 = -4/9 (không hợp lệ vì t = m^2 phải không âm).

Vậy m^2 = 4 => m = ±2.

Do đó, giá trị của m mà phương trình x^2 - 2x - 2m^2 = 0 thỏa mãn điều kiện x1^2 = 4x2^2 là m = 2 hoặc m = -2.