Cho nửa (O) đường kính AB=2R. Từ A, B kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By. Qua M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. a) CMR: AC.BD = $frac{AB²}{4}$ b) CMR: AB

a) Để chứng minh \( AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} \), ta sử dụng tính chất của các tiếp tuyến.

Theo định lý tiếp tuyến của đường tròn, ta có:
- \( AC \) là tiếp tuyến từ A đến đường tròn tại C.
- \( BD \) là tiếp tuyến từ B đến đường tròn tại D.

Vì AC và AD, BC và BD đều là các tiếp tuyến, nên:
- \( AC^2 = AO^2 - OC^2 \)
- \( BD^2 = BO^2 - OD^2 \)

Trong đó, \( O \) là tâm của nửa đường tròn, và \( OA = OB = R \) (đường kính AB). Từ đó ta có \( AC \cdot BD = \sqrt{AO^2 - OC^2} \cdot \sqrt{BO^2 - OD^2} \).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAC và OBD để thay thế \( OC \) và \( OD \) bằng các hằng số liên quan tới R và góc tạo bởi đường thẳng AB. Cuối cùng, bạn có thể đưa ra rằng \( AC \cdot BD \) sẽ ra được như yêu cầu.

b) Để chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD, ta tiếp cận theo cách sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc vuông giữa tiếp tuyến và bán kính.

Cụ thể, hãy xem N là giao điểm của AD và BC. Khi M di chuyển trên đường tròn, thì ND (bán kính của đường tròn CD tại điểm tiếp xúc D) sẽ vuông góc với đường thẳng AB. Vì vậy, đường thẳng AB chính là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD tại điểm N. Theo đó, khi MN là đường thẳng, nó cũng sẽ vuông góc với AB, tức là MN ⊥ AB.

c) Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OM, OB và cung nhỏ MB là vùng nằm giữa hai đoạn thẳng OM và OB cùng với cung MB.

Mặt khác, diện tích hình quạt có diện tích bằng \(\frac{1}{2} R^2 \theta\), trong đó \(\theta\) là góc ở O hình thành giữa hai bán kính OM và OB. Với việc AM = R, khi M di chuyển trên nửa đường tròn, độ dài đoạn MB và OM cũng sẽ điều chỉnh, từ đó bạn có thể tính \(\theta\) theo chu vi hình tròn để tìm diện tích nào tối ưu.

d) Để xác định đường đi của trung điểm K của EF khi M di chuyển trên (O), có thể áp dụng những định lý cơ bản về trung điểm. K là trung điểm của đoạn EF từ E và F, tức là \( K = \frac{E + F}{2} \).

Khi M di chuyển trên đường tròn, các tiếp điểm C và D sẽ thay đổi vị trí, dẫn đến E và F cũng chuyển động trong không gian. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, đường đi của K sẽ là một đường tròn hoặc một đường thẳng, tuy nhiên cần tính toán cụ thể để xác nhận hình dạng của nó, từ đó cho biết K di chuyển trên đường nào.

Tóm lại, việc sử dụng các tính chất hình học, định lý Pythagore và định lý về tiếp tuyến là rất quan trọng để giải quyết các câu hỏi này và chứng minh những điều cần chứng minh.