Cho tứ diện A.BCD có đáy BCD là tam giác đều . Gọi I, J , M lần lượt là trung điểm của AC,AD và CD 1, tính góc giữa IJ và BC  2, chứng minh BM vuông góc IJ  3, Nếu AM vuông góc CD thì tam giác ACD là tam giác

1. Để tính góc giữa IJ và BC, trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm trong tứ diện A.BCD. Giả sử:

- B(0, 0, 0)
- C(a, 0, 0)
- D(a/2, (a√3)/2, 0)
- A(bx, by, h) (h là độ cao của A).

Tọa độ trung điểm I (trung điểm AC) sẽ là:

I = ((bx + a) / 2, by / 2, h / 2)

Tọa độ trung điểm J (trung điểm AD) sẽ là:

J = ((bx + a/2) / 2, (by + (a√3)/2) / 2, h / 2)

Tọa độ trung điểm M (trung điểm CD) sẽ là:

M = ((a + a/2) / 2, (0 + (a√3)/2) / 2, 0) = (3a / 4, a√3 / 4, 0)

Vector IJ = J - I:

IJ = ((((bx + a/2) / 2) - ((bx + a) / 2)), (((by + (a√3)/2) / 2) - (by / 2)), (h / 2) - (h / 2))

Sau đó, Vector BC = C - B = (a, 0, 0)

Để tính góc giữa IJ và BC, sử dụng công thức:

cos(θ) = (IJ·BC) / (|IJ| |BC|)

Khi đó, ta thay các giá trị tính được vào để tìm cos(θ) và từ đó suy ra góc.

2. Để chứng minh BM vuông góc với IJ, ta cần chỉ ra rằng tích vô hướng của vector BM và vector IJ bằng 0. Các vector sẽ được tính như sau:

Vector BM = M - B

Vector IJ đã tính ở trên.

Nếu BM và IJ vuông góc thì:

BM·IJ = 0

Khi tìm ra các tọa độ cụ thể của các vector này, ta có thể chứng minh điều này thông qua việc thay vào công thức tích vô hướng.

3. Nếu AM vuông góc với CD, tức là:

Vector AM·CD = 0

Điều này đồng nghĩa với việc tam giác ACD sẽ có một góc vuông tại A. Nếu A nằm trên mặt phẳng vuông góc với CD, thì tam giác ACD sẽ là tam giác vuông.

Kết luận, với điều kiện này, tam giác ACD sẽ là tam giác vuông tại A.