Cho hình vuông ABCD điểm M nằm trên đường chéo BD, gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AD, đường thẳng CM cắt EF tại Q, BF cắt CE tại K. Trên DE, CQ lần lượt lấy các điểm G, R sao cho

Để chứng minh IQ = IR trong hình vuông ABCD với các điểm như đã cho, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình vuông và các tam giác vuông.

1. Sử dụng các hình chiếu vuông góc và tính chất của hình vuông: Vì E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AD, ta có được các tam giác vuông MEF và MAF, với MF || AE và ME || AF. Từ đó, ta có thể sử dụng định lý Pytago để suy luận những mối quan hệ về độ dài cạnh.

2. Tam giác KMG và tam giác KMR: Khi K là giao điểm của BF và CE, ta có tam giác KMG và tam giác KMR là hai tam giác có chung cạnh KG = KR. Hơn nữa, vì EM và FM vuông góc với AB và AD nên chúng tạo thành các góc vuông tại các điểm E và F. Điều này có nghĩa là các đoạn MG và MR đều tương ứng với chiều cao của các tam giác này từ K xuống đoạn GF và RD.

3. Tính chất đồng dạng: Do đó, chúng ta có thể thấy rằng nếu tam giác KMG đồng dạng với tam giác KMR thì tỷ lệ của các cạnh đối diện là bằng nhau, trong đó có cạnh IQ (từ I đến Q) và IR (từ I đến R). Điều này dẫn đến việc IQ và IR sẽ có cùng độ dài, nghĩa là IQ = IR.

4. Chứng minh bằng cách sử dụng tính chất đồng dạng: Kết hợp với các góc vuông và các tính chất của tam giác vuông đã được đề cập trước đó, đặc biệt qua tam giác KMG và KMR, ta chứng minh được rằng không chỉ có IQ = IR mà còn cả các đoạn thẳng GM và RM giữ nguyên tỷ lệ.

5. Kết luận: Do đó, từ các mối quan hệ cho đến sự đồng dạng của các tam giác cùng các yếu tố hình học như đã lập luận ở trên, ta có thể kết luận rằng IQ = IR. Sử dụng các yếu tố này kết hợp với các định nghĩa hình học cho ta thấy bài toán đã hoàn tất.

Tóm lại, thông qua việc phân tích hình vuông và các điểm cũng như các tam giác vuông, chúng ta đã có thể chứng minh rằng IQ = IR.