Cho tỉ lệ thức `a/b = c/d` với `a` khác `0` ; `b` khác `0` ; `c` khác `0` ; `d` khác `0` ; `a` khác ± `b`, `c` khác ± `c` CM: `((a-b)/(c-d))^2013 = (a^2013 + b^2013)/(c^2013 + d^2013)`

Ta có tỉ lệ thức:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

Điều này có nghĩa là:

\[ \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 \]

Chuyển đổi lại:

\[ \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d} \]

Từ đó ta có:

\[ \frac{a - b}{c - d} = \frac{b}{d} \]

Bây giờ, ta sẽ nâng lên lũy thừa 2013:

\[ \left( \frac{a - b}{c - d} \right)^{2013} = \left( \frac{b}{d} \right)^{2013} \]

Ta có:

\[ \left( \frac{a - b}{c - d} \right)^{2013} = \frac{b^{2013}}{d^{2013}} \]

Mặt khác, từ tỉ lệ thức ban đầu:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

Ta có:

\[ a = \frac{bc}{d} \]

Thay vào phân số:

\[ \frac{a^{2013} + b^{2013}}{c^{2013} + d^{2013}} \]

Biết rằng:

\[ a^{2013} = \left( \frac{bc}{d} \right)^{2013} = \frac{b^{2013} c^{2013}}{d^{2013}} \]

Do đó:

\[ \frac{a^{2013} + b^{2013}}{c^{2013} + d^{2013}} = \frac{\frac{b^{2013} c^{2013}}{d^{2013}} + b^{2013}}{c^{2013} + d^{2013}} \]

Rút gọn:

\[ = \frac{b^{2013} (c^{2013} + d^{2013})}{d^{2013} (c^{2013} + d^{2013})} \]

= \frac{b^{2013}}{d^{2013}} \]

Vậy:

\[ \left( \frac{a - b}{c - d} \right)^{2013} = \frac{a^{2013} + b^{2013}}{c^{2013} + d^{2013}} \]

Chứng minh xong.