Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2(x ² - 4x + 5) + y ² = 2(x - 1)y

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình 2(x² - 4x + 5) + y² = 2(x - 1)y, ta sẽ giải phương trình theo từng bước:

Bước 1: Rút gọn phương trình

Khi chúng ta phân tích phương trình, chúng ta có thể viết lại nó như sau:

2(x² - 4x + 5) + y² - 2(x - 1)y = 0.

Đưa các thành phần về cùng một phía:

2x² - 8x + 10 + y² - 2xy + 2y = 0.

Bước 2: Sắp xếp lại

Ta có thể nhóm các hạng tử cho dễ nhìn:

2x² - 2xy - 8x + y² + 2y + 10 = 0.

Bước 3: Phân tích thành phương trình bậc 2

Điều chỉnh phương trình dưới dạng bậc hai theo biến y:

y² - 2xy + (2y - 10 + 2x² - 8x) = 0.

Yếu tố của phương trình bậc hai này là:

y² - (2x - 2)y + (2x² - 8x + 10).

Bước 4: Áp dụng điều kiện nghiệm

Phương trình bậc hai này có dạng Ay² + By + C = 0 với A = 1, B = -(2x - 2), C = 2x² - 8x + 10.

Để có nghiệm nguyên cho y, điều kiện của delta (Δ) cần không âm:

Δ = B² - 4AC ≥ 0.

Tính toán:

Δ = (2x - 2)² - 4(1)(2x² - 8x + 10)
= 4(x - 1)² - 8x² + 32x - 40.

Bước 5: Rút gọn delta

Δ = 4(x² - 2x + 1) - 8x² + 32x - 40
= -4x² + 24x - 36
= -4(x² - 6x + 9)
= -4(x - 3)².

Điều kiện này cho thấy Δ ≤ 0. Do đó, delta sẽ chỉ bằng 0 khi x = 3.

Bước 6: Tìm nghiệm cho y

Khi x = 3, ta thay vào phương trình bậc hai:

y² - (23 - 2)y + (23² - 8*3 + 10) = 0
=> y² - 4y + (18 - 24 + 10) = 0
=> y² - 4y + 4 = 0
=> (y - 2)² = 0.

Vậy, y = 2.

Bước 7: Tổng hợp nghiệm

Như vậy, nghiệm nguyên của phương trình trên là (x, y) = (3, 2).