Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 cho ba điểm 𝐴(1; −2);𝐵(2; 5) và 𝐶(0; −1). a) Tính chu vi tam giác ABC b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính OG c) Xác định tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành (2 cách) d) Xác định tọa độ trực

a) Để tính chu vi tam giác ABC, ta cần tính độ dài ba cạnh AB, BC và CA.

- Độ dài cạnh AB được tính bằng công thức:

AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²] = √[(2 - 1)² + (5 + 2)²] = √[1² + 7²] = √(1 + 49) = √50 = 5√2.

- Độ dài cạnh BC:

BC = √[(xC - xB)² + (yC - yB)²] = √[(0 - 2)² + (-1 - 5)²] = √[(-2)² + (-6)²] = √(4 + 36) = √40 = 2√10.

- Độ dài cạnh CA:

CA = √[(xA - xC)² + (yA - yC)²] = √[(1 - 0)² + (-2 + 1)²] = √[1² + (-1)²] = √(1 + 1) = √2.

- Tính chu vi:

P = AB + BC + CA = 5√2 + 2√10 + √2 = 6√2 + 2√10.

b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính theo công thức:

G(x, y) = (xA + xB + xC) / 3, (yA + yB + yC) / 3

= (1 + 2 + 0) / 3, (-2 + 5 - 1) / 3 = (3 / 3, 2 / 3) = (1, 2/3).

Từ đó, OG = √[(1 - 0)² + (2/3) - 0)²] = √[1² + (2/3)²] = √(1 + 4/9) = √(9/9 + 4/9) = √(13/9) = √13 / 3.

c) Để tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành, chúng ta có thể xác định D bằng cách:

1. Gọi D(x, y) sao cho AC || BD và AB || CD. Áp dụng quy tắc hình bình hành:

D = B + C - A = (2, 5) + (0, -1) - (1, -2) = (2 - 1, 5 - (-2) - 1) = (1, 6).

2. Hoặc tìm D dựa vào phương pháp trung điểm:

Nếu D là đối điểm của A qua trung điểm của BC:

M = (xB + xC)/2, (yB + yC)/2 = (2 + 0)/2, (5 - 1)/2 = (1, 2).

Vậy D = 2M - A = 2(1, 2) - (1, -2) = (2, 4) - (1, -2) = (1, 6).

Kết quả cả hai cách đều cho ra tọa độ D(1, 6).

d) Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC có thể được tính như sau:

- Đầu tiên tìm phương trình đường cao từ điểm A đến cạnh BC. Cạnh BC có hệ số góc hình học:

mBC = (yC - yB) / (xC - xB) = (-1 - 5) / (0 - 2) = -6 / -2 = 3.

Do đó, đường cao từ A vuông góc với BC có hệ số góc m = -1/3.

Sử dụng điểm A(1, -2) để tìm phương trình đường thẳng:

y + 2 = -1/3(x - 1) => y = -1/3x + 1/3 - 2 = -1/3x - 5/3.

- Thực hiện tương tự với các đường cao từ B và C, sau đó giải hệ phương trình ba đường cao để tìm vị trí H.

e) Diện tích của tam giác ABC được tính bằng công thức:

S = 1/2 * | xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB) |

= 1/2 * | 1(5 - (-1)) + 2((-1) - (-2)) + 0((-2) - 5) |

= 1/2 | 1 6 + 2 1 + 0 | = 1/2 | 6 + 2 | = 1/2 * 8 = 4.

f) Để xác định tam giác ABC là vuông, nhọn hay tù, ta tính độ dài cạnh và so sánh.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Có ba cạnh: AB, BC, CA. Tính bình phương độ dài:

AB² + AC² = (5√2)² + (√2)² = 50 + 2 = 52 < (2√10)² = 40.

Vậy tam giác ABC là nhọn.

g) Tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính tọa độ điểm I:

I = [(aA + bB + cC) / (a + b + c)], a, b, c là độ dài ba cạnh đối diện.

- Áp dụng với a = BC, b = AC, c = AB, tính từng bước một:

a = 2√10, b = √2, c = 5√2.

Tính tọa độ I và tiếp tục tính giá trị.

h) Để tìm độ dài đoạn OE của tia phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại E, sử dụng định lý phân giác:

OE = (AB * AC) / (AB + AC).

Tính các độ dài, thay vào công thức để tìm OE.