Cho `alpha` là 1 góc nhọn, chứng minh:

a) Ta cần chứng minh rằng sin α < tan α với α là một góc nhọn.

Bắt đầu với định nghĩa của tan α:
tan α = sin α / cos α

Vì α là một góc nhọn (0 < α < 90 độ), nên cos α > 0. Do đó, ta có thể viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau:

sin α < sin α / cos α

Hệ quả của việc này là chứng minh rằng:
1 < 1 / cos α

Từ đó suy ra:
cos α < 1.

Điều này là đúng vì cos α luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1 đối với mọi α trong khoảng từ 0 đến 90 độ. Như vậy, bất đẳng thức sin α < tan α đã được xác minh.

b) Ta cần chứng minh rằng cos α < cot α.

Ta cũng dùng định nghĩa của cot α:
cot α = 1 / tan α = cos α / sin α

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
cos α < cos α / sin α

Tương tự như trước, ta có thể viết lại thành:
1 < 1 / sin α

Điều này có nghĩa là:
sin α < 1.

Tập hợp các giá trị của sin α với α là một góc nhọn (0 < α < 90 độ) chắc chắn thỏa mãn bất đẳng thức này vì sin α luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Vậy ta đã chứng minh thành công cả hai điều cần chứng minh:
a) sin α < tan α;
b) cos α < cot α.