Rút gọn biểu thức: $A = left(frac{x^2 + 3x}{x^3 + 3x^2 + 9x + 27} + frac{3}{x+9} ight) : left(frac{1}{x-3} - frac{6x}{x^3 + 3x^2 + 9x - 27} ight) frac{x-3}{x+7}$

Để rút gọn biểu thức \( A \), ta lần lượt phân tích các phần của biểu thức.

Đầu tiên, xem xét phần tử \( \frac{x^2 + 3x}{x^3 + 3x^2 + 9x + 27} \):

1. Phân tích tử số:
Tử số là \( x^2 + 3x = x(x + 3) \).

2. Phân tích mẫu số:
Mẫu số là \( x^3 + 3x^2 + 9x + 27 \). Ta có thể nhóm các hạng tử và sử dụng phương pháp phân nhóm:
\[
x^3 + 3x^2 + 9x + 27 = x^3 + 3x^2 + 3x + 27 + 6x = (x^3 + 3x^2 + 3x + 27) + 6x = (x^3 + 3x^2 + 3x + 27) + (2(x + 3) + 5(x + 3)),
\]
Hoặc ta có thể thử chia \( x^3 + 3x^2 + 9x + 27 \) bằng \( x + 3 \):
\[
x^3 + 3x^2 + 9x + 27 = (x + 3)(x^2 + 6)
\]

Như vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức:
\[
\frac{x(x+3)}{(x+3)(x^2+6)} = \frac{x}{x^2 + 6} \text{ (với } x \neq -3\text{)}.
\]

Tiếp theo, xem xét phần \( \frac{3}{x+9} \):
Biểu thức này không cần rút gọn thêm.

Khi kết hợp cả hai phần đầu tiên, ta có:
\[
\frac{x}{x^2 + 6} + \frac{3}{x + 9}.
\]
Để cộng hai phân số này, ta cần đưa về mẫu chung:
\[
\frac{x(x + 9) + 3(x^2 + 6)}{(x^2 + 6)(x + 9)} = \frac{x^2 + 9x + 3x^2 + 18}{(x^2 + 6)(x + 9)} = \frac{4x^2 + 9x + 18}{(x^2 + 6)(x + 9)}.
\]

Bây giờ xem xét phần khai thác sau dấu phân cách, \( \frac{1}{x - 3} - \frac{6x}{x^3 + 3x^2 + 9x - 27} \):
Mẫu số thứ hai là \( x^3 + 3x^2 + 9x - 27 \). Tương tự như trên, mẫu số này có thể được viết lại bằng cách phân tích hạt tử:
\[
x^3 + 3x^2 + 9x - 27 = (x - 3)(x^2 + 6).
\]
Do đó:
\[
\frac{6x}{(x - 3)(x^2 + 6)}.
\]

Bây giờ, ta sẽ có:
\[
\frac{1}{x - 3} - \frac{6x}{(x - 3)(x^2 + 6)} = \frac{(x^2 + 6) - 6x}{(x - 3)(x^2 + 6)} = \frac{x^2 - 6x + 6}{(x - 3)(x^2 + 6)}.
\]

Cuối cùng, ta kết hợp tỉ lệ:
\[
\frac{4x^2 + 9x + 18}{(x^2 + 6)(x + 9)} : \frac{x^2 - 6x + 6}{(x - 3)(x^2 + 6)}.
\]
Thực hiện tỉ lệ tương đương với nhân số nghịch đảo:
\[
= \frac{(4x^2 + 9x + 18)(x - 3)}{(x^2 + 6)(x + 9)(x^2 - 6x + 6)}.
\]
Sau đó kết hợp với phần \( \frac{x-3}{x+7} \), ta có biểu thức cuối cùng.

Do đó, thu được \( A \):
\[
A = \frac{(4x^2 + 9x + 18)(x - 3)^2}{(x^2 + 6)(x + 9)(x^2 - 6x + 6)(x + 7)}.
\]
Đó là biểu thức đã được rút gọn hoàn toàn.