Cho phương trình m.sin x + (m − 1) cos 2x + 5 = 0 (trong đó m là tham số). Số các giá trị nguyên của m để phương trình vô nghiệm là [.......]

Để giải phương trình m.sin x + (m − 1) cos 2x + 5 = 0, trước tiên ta cần biểu diễn cos 2x dưới dạng sin x. Ta có công thức:

cos 2x = 1 - 2sin^2 x.

Thay vào phương trình, ta có:

m.sin x + (m - 1)(1 - 2sin^2 x) + 5 = 0.

Phát triển phương trình trên, ta thu được:

m.sin x + (m - 1) - 2(m - 1)sin^2 x + 5 = 0.

Rút gọn lại, ta có:

-2(m - 1)sin^2 x + m.sin x + (m - 1 + 5) = 0.

Hay là:

-2(m - 1)sin^2 x + m.sin x + (m + 4) = 0.

Đặt t = sin x, phương trình trở thành một phương trình bậc hai theo t:

-2(m - 1)t^2 + mt + (m + 4) = 0.

Để phương trình này vô nghiệm, điều kiện là Δ < 0, trong đó Δ là discriminant (công thức tính độ phân biệt):

Δ = b^2 - 4ac = m^2 - 4(-2(m - 1))(m + 4).

Tính Δ, ta có:

Δ = m^2 + 8(m - 1)(m + 4) = m^2 + 8(m^2 + 3m - 4) = 9m^2 + 24m - 32.

Để phương trình vô nghiệm, ta cần:

9m^2 + 24m - 32 < 0.

Giải bất phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình bậc hai 9m^2 + 24m - 32 = 0. Sử dụng công thức nghiệm:

m = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a = [-24 ± √(24^2 - 4 9 (-32))] / 2 * 9.

Tính Δ:

Δ = 576 + 1152 = 1728.

Vậy m sẽ là:

m = [-24 ± 36] / 18.

Tính toán ra các giá trị:

m1 = (12) / 18 = 2/3, m2 = (-60) / 18 = -10/3.

Dải nghiệm m đó sẽ là:

-10/3 < m < 2/3.

Ta cần xét đến các giá trị nguyên trong khoảng (-10/3, 2/3). Các giá trị nguyên trong khoảng này là:

-3, -2, -1, 0.

Do đó, số các giá trị nguyên của m để phương trình vô nghiệm sẽ là 4.

Vậy đáp án là:

Số các giá trị nguyên của m để phương trình vô nghiệm là [4].