Cho tam giác ABC có A(-1,2), B(0,5), C(3,6). Lập pt 3 đường cao và 3 đường trung trực

Để lập phương trình của 3 đường cao và 3 đường trung trực của tam giác ABC với các đỉnh A(-1,2), B(0,5), C(3,6), chúng ta làm như sau:

### 1. Xác định phương trình đường cao
Đường cao của một tam giác từ một đỉnh là đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện. Để tính được đường cao từ mỗi đỉnh, trước tiên cần tính phương trình của cạnh đối diện.

a. Tính phương trình cạnh AB:
Đỉnh A(-1, 2) và B(0, 5). Độ dốc (slope) của AB được tính như sau:
m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (5 - 2) / (0 - (-1)) = 3 / 1 = 3.

Phương trình của đường thẳng AB là: y - y_A = m_AB * (x - x_A)
=> y - 2 = 3 * (x + 1)
=> y = 3x + 5.

b. Tính đường cao từ đỉnh C đến cạnh AB:
Đường cao từ C sẽ có độ dốc vuông góc với cạnh AB. Độ dốc của đường cao từ C sẽ là:
m_C = -1/m_AB = -1/3.

Sử dụng điểm C(3, 6):
y - 6 = -1/3(x - 3)
=> 3(y - 6) = -1(x - 3)
=> 3y - 18 = -x + 3
=> x + 3y - 21 = 0. (Phương trình đường cao từ C).

c. Tính phương trình đường cao từ B đến cạnh AC:
Tính phương trình cạnh AC:
Đỉnh A(-1,2) và C(3,6):
m_AC = (6 - 2) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1.
Phương trình của AC là y - 2 = 1(x + 1) => y = x + 3.

Đường cao từ B vuông góc với AC sẽ có độ dốc -1.
Sử dụng điểm B(0,5):
y - 5 = -1(x - 0)
=> y = -x + 5. (Phương trình đường cao từ B).

d. Tính phương trình đường cao từ A đến cạnh BC:
Tính phương trình cạnh BC:
Đỉnh B(0,5) và C(3,6):
m_BC = (6 - 5) / (3 - 0) = 1/3.
Phương trình của BC là y - 5 = 1/3(x - 0) => y = (1/3)x + 5.

Đường cao từ A vuông góc với BC sẽ có độ dốc -3.
Sử dụng điểm A(-1,2):
y - 2 = -3(x + 1)
=> y - 2 = -3x - 3
=> 3x + y + 1 = 0. (Phương trình đường cao từ A).

### 2. Xác định phương trình đường trung trực
Đường trung trực của một cạnh là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đó và vuông góc với nó.

a. Trung điểm AB:
Trung điểm M_AB của cạnh AB với A(-1, 2) và B(0, 5) là:
M_AB = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2) = ((-1 + 0)/2, (2 + 5)/2) = (-0.5, 3.5).

Độ dốc của AB là 3, nên độ dốc của đường trung trực sẽ là -1/3.
Phương trình đường trung trực từ M_AB:
y - 3.5 = -1/3(x + 0.5)
=> 3y - 10.5 = -x - 0.5
=> x + 3y - 10 = 0.

b. Trung điểm AC:
Trung điểm M_AC của cạnh AC:
M_AC = ((-1 + 3)/2, (2 + 6)/2) = (1, 4).

Độ dốc của AC là 1, vì vậy độ dốc của đường trung trực là -1.
Phương trình đường trung trực từ M_AC:
y - 4 = -1(x - 1)
=> y = -x + 5.

c. Trung điểm BC:
Trung điểm M_BC của cạnh BC:
M_BC = ((0 + 3)/2, (5 + 6)/2) = (1.5, 5.5).

Độ dốc của BC là 1/3, nên độ dốc của đường trung trực sẽ là -3.
Phương trình đường trung trực từ M_BC:
y - 5.5 = -3(x - 1.5)
=> y = -3x + 12.5.

### Kết quả
- Phương trình đường cao từ C: x + 3y - 21 = 0.
- Phương trình đường cao từ B: y = -x + 5.
- Phương trình đường cao từ A: 3x + y + 1 = 0.

- Phương trình đường trung trực từ AB: x + 3y - 10 = 0.
- Phương trình đường trung trực từ AC: y = -x + 5.
- Phương trình đường trung trực từ BC: y = -3x + 12.5.