So sánh $√3^{frac{-5}{6}}$ và $sqrt[3]{3^{-1}.sqrt[4]{frac{1}{3}}}$ So sánh $2024^{2025}$ và $2025^{2024}$

Để so sánh $√3^{\frac{-5}{6}}$ và $\sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$, trước hết ta sẽ tính từng biểu thức một cách chi tiết.

1. Tính $√3^{\frac{-5}{6}}$:

Đầu tiên, ta có:
$$ √3 = 3^{\frac{1}{2}} $$
Do đó:
$$ √3^{\frac{-5}{6}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{-5}{6}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{-5}{6}} = 3^{-\frac{5}{12}} $$

2. Tính $\sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$:

Đầu tiên, ta sẽ tính $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$:
$$ \sqrt[4]{\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{4}}} = 3^{-\frac{1}{4}} $$

Vì vậy, ta có:
$$ 3^{-1} \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{3}} = 3^{-1} \cdot 3^{-\frac{1}{4}} = 3^{-\left(1 + \frac{1}{4}\right)} = 3^{-\frac{5}{4}} $$

Bây giờ, ta tính $\sqrt[3]{3^{-\frac{5}{4}}}$:
$$ \sqrt[3]{3^{-\frac{5}{4}}} = (3^{-\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{5}{12}} $$

3. So sánh:

Ta thấy rằng:
$$ √3^{\frac{-5}{6}} = 3^{-\frac{5}{12}} $$
và
$$ \sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}} = 3^{-\frac{5}{12}} $$
Do đó:
$$ √3^{\frac{-5}{6}} = \sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}} $$

Vậy kết quả của so sánh là $√3^{\frac{-5}{6}} = \sqrt[3]{3^{-1}.\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}$.

---

Tiếp theo, để so sánh $2024^{2025}$ và $2025^{2024}$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức logarithm.

1. Lấy log hai bên:

Ta sẽ lấy logarithm tự nhiên trên cả hai biểu thức:
$$ \ln(2024^{2025}) \text{ và } \ln(2025^{2024}) $$

2. Sử dụng tính chất logarithm:

Ta có:
$$ \ln(2024^{2025}) = 2025 \ln(2024) $$
$$ \ln(2025^{2024}) = 2024 \ln(2025) $$

3. So sánh hai biểu thức:

Chúng ta cần so sánh $2025 \ln(2024)$ với $2024 \ln(2025)$.

Phân tích việc này, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc làm một phép tinh giản:
$$ \frac{\ln(2024)}{2024} \text{ và } \frac{\ln(2025)}{2025} $$

Khi kiểm tra hàm số $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ trên khoảng $(0, +\infty)$, ta thấy rằng hàm số này giảm vì:
$$ f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $$

Ở đây, khi $x = 2024$, thì $\ln(2024) < 1$, còn $x = 2025$ thì $\ln(2025) > 1$. Do đó, $\frac{\ln(2024)}{2024} > \frac{\ln(2025)}{2025}$.

4. Kết luận:

Khoảng này đã cho thấy rằng:
$$ 2025 \ln(2024) < 2024 \ln(2025) $$
do đó $2024^{2025} < 2025^{2024}$.

Vậy kết quả cuối cùng là:
$$ 2024^{2025} < 2025^{2024} $$