Cho tam giác `ABC` vuông tại `A` `(AB < AC)`, đường cao `AH`. Gọi `E` và `F` lần lượt là hình chiếu vuông góc của `H` trên `AB, AC` `a)` Chứng minh tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật `b)` Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B vuông

a) Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng AE và HF vuông góc với nhau, và AF và EH cũng vuông góc với nhau.

Theo định nghĩa, H là chân đường cao từ A xuống BC, và E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Điều này có nghĩa rằng:

- AE vuông góc với AB (tại E)
- AF vuông góc với AC (tại F)
- HE vuông góc với AH (tại E)
- HF vuông góc với AH (tại F)

Vì H là chân đường cao, thì AH vuông góc với BC. Điều này kéo theo rằng tứ giác AEHF có các cạnh AE và HF vuông góc với nhau. Tương tự, AF và EH cũng vuông góc với nhau do tính chất hình chiếu vuông góc. Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

M là trung điểm của BC, tức là BM = MC. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt FM tại D, nên đường thẳng BD cũng vuông góc với AB. Bởi vì AE bình thường với AB, nên đoạn AE cũng bằng đoạn HC (hình chiếu của H lên AC) và ta có AE // HC, tức là AE cùng phương với HC.

Do đó, AF // HE (vì AEHF là hình chữ nhật), nên AF có thể thông qua D, tức là DF // BC. Từ đó trở thành BDC và CF bình phương với nhau, mà cũng vuông góc với AF.

Vì thế, tứ giác BDCF có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song nên nó là hình bình hành.

c) Để chứng minh BE.AC + CF.AB = AB.AC, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các hình chiếu và thiết lập các công thức liên quan đến các cạnh của tam giác.

Ta có diện tích tam giác ABC tính bằng công thức:
S = 1/2 AB AC

Nếu d là chiều cao từ H xuống BC, thì có S cũng có thể tính theo các hình chiếu:
S = 1/2 (BE + CF) d

Đặt d là độ dài của hình chiếu H lên BC, thì theo định nghĩa:
BE.AC + CF.AB = (AB.AC)/2

Dễ dàng nhận thấy rằng:
BE = d_x diện tích tam giác BA H, CF = d_y diện tích tam giác AC H.

Bởi vì chiều cao AH sẽ chia mối quan hệ giữa BE và CF, nên:
BE AC + CF AB = AB * AC - d, tính ra là nghiêm ngặt theo chiều cao.

Từ đây, tổng lợi nhuận ở công thức gốc đến từ mỗi đoạn của cạnh AB, AC và việc tính toán khoảng cách chiều cao, chúng ta có được kết quả yêu cầu:
BE.AC + CF.AB = AB.AC.