Đúng / Sai Giúp em với  Em cảm ơn ạ

a) Để tìm diện tích hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = \sqrt{2x} \) và trục tung, trục hoành, ta cần xác định các giới hạn tích phân. Đồ thị hàm \( y = \sqrt{2x} \) cắt trục hoành tại điểm \( x = 0 \) và tiếp theo, khi \( x = 4 \), giá trị của \( y = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \).

Diện tích D có thể tính bằng tích phân:

\[
A = \int_0^4 \sqrt{2x} \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
A = \int_0^4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} \, dx = \sqrt{2} \int_0^4 x^{1/2} \, dx = \sqrt{2} \cdot \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^4
\]

Tính giá trị tại các giới hạn:

\[
= \sqrt{2} \cdot \left( \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(0) \right) = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \right) = \frac{16\sqrt{2}}{3}
\]

Do đó, diện tích hình phẳng D là \( \frac{16\sqrt{2}}{3} \).

b) Để tìm diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đường thẳng \( d: y = 2x - 2 \) và đồ thị \( (C): y = \sqrt{2x} \):

Ta tìm giao điểm của hai đồ thị bằng cách giải phương trình \( \sqrt{2x} = 2x - 2 \):

Bình phương hai vế:

\[
2x = (2x - 2)^2 \Rightarrow 2x = 4x^2 - 8x + 4 \Rightarrow 4x^2 - 10x + 4 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{8} = \frac{10 \pm 6}{8}
\]

Ta có các nghiệm:

\[
x_1 = \frac{16}{8} = 2 \quad và \quad x_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Diện tích H có thể tính bằng tích phân:

\[
A = \int_{\frac{1}{2}}^2 \left( (2x - 2) - \sqrt{2x} \right) dx
\]

Tính tích phân:

\[
A = \int_{\frac{1}{2}}^2 (2x - 2 - \sqrt{2x}) \, dx
\]

Tính các tích phân riêng lẻ và cộng lại.

c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \( d \) và đồ thị \( (C) \) quanh trục \( OX \):

Sử dụng công thức thể tích:

\[
V = \pi \int_0^4 \left[ (\sqrt{2x})^2 - (2x - 2)^2 \right] dx
\]

Rồi đủ các bước tính toán:

\[
= \pi \int_0^4 \left[ 2x - (4x^2 - 8x + 4) \right] dx
= \pi \int_0^4 \left[ -4x^2 + 10x - 4 \right] dx
\]

d) Cho hình \( H \) giới hạn bởi đồ thị hàm số \( (C) \): \( y = \sqrt{2x} \), đường thẳng \( (d): y = 2x - 2 \) và trục hoành. Công thức tính thể tích hình trụ quay quanh trục hoành là:

\[
V = \pi \int_0^{\frac{1}{2}} (\sqrt{2x})^2 \, dx + \pi \int_{1/2}^2 (2x - 2)^2 \, dx
\]

Tính các tích phân và cộng lại để ra thể tích cuối cùng.