Đúng / Sai Giúp em với  Em cảm ơn ạ

a) Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = e^x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = 3, ta cần tính tích phân từ 0 đến 3 của hàm số e^x.

Diện tích cần tìm là:
S = ∫[0 đến 3] e^x dx.

Tính tích phân:
∫e^x dx = e^x + C.

Do đó,
S = [e^x] từ 0 đến 3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1.

Diện tích hình phẳng giới hạn là e^3 - 1, kết quả này không bằng e^3 mà bằng e^3 - 1.

b) Khi k = 4, cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = e^x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = k = 4. Vậy, thực hiện các bước tương tự như trên:

S = ∫[0 đến 4] e^x dx.

Tính tích phân:
S = [e^x] từ 0 đến 4 = e^4 - e^0 = e^4 - 1.

Để so sánh với 3:
Ta cần xem xét giá trị của e^4:
e ≈ 2.718, do đó e^4 ≈ 2.718^4 ≈ 54.6. Vậy, e^4 - 1 > 3 (xét sơ bộ) xong so sánh chi tiết hơn, e^4 - 1 rõ ràng bằng một giá trị lớn hơn 3.

c) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x_0 = 1. Đầu tiên, ta tính nghiệm của hàm số:
y = e^1 = e.

Tiếp theo, tính đạo hàm y' tại x = 1:
y' = e^x, vậy y'(1) = e^1 = e.

Phương trình tiếp tuyến tại x_0 = 1:
y - e = e(x - 1) => y = ex - e + e = ex.

Sau đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến y = ex, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = 3 mới là:
S = ∫[0 đến 3] (ex) dx = [e^x] từ 0 đến 3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1.

Và giá trị cụ thể:
S = e^3 - 1.

d) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = 3 quanh trục Ox (trục hoành ứng với một đường tròn) được tính bằng công thức:
V = ∫[0 đến 3] (f(x))^2 dx với f(x) = e^x.

Tính:
V = ∫[0 đến 3] (e^x)^2 dx = ∫[0 đến 3] e^(2x) dx.

Tính tích phân:
= (1/2)e^(2x) từ 0 đến 3 = (1/2)(e^6 - 1).

Kết quả cuối cùng là:
V = (1/2)(e^6 - 1).