Cho tam giác ABC cân tại A có BD là tia phân giác của góc ABC , CA là tia phân giác của góc ACB . BD và CA cắt nhau tại I . Chứng minh: a, tam giác IBC cân b, tam giác ADE cân c, ED // BC d, AI vuông góc vs

a, Để chứng minh tam giác IBC cân, trước tiên ta lưu ý rằng trong tam giác ABC, do là tam giác cân tại A nên AB = AC. Bây giờ, vì BD là tia phân giác của góc ABC và CA là tia phân giác của góc ACB, và điểm I là giao điểm của hai tia phân giác này, ta có:

- Theo định lý phân giác, ta có tỉ số độ dài đoạn thẳng mà nó chia ra: (IB/IC) = (AB/AC). Vì AB = AC nên (IB/IC) = 1. Điều này suy ra rằng IB = IC.

Vì vậy, ta có IB = IC, từ đó c cho thấy tam giác IBC là tam giác cân.

b, Để chứng minh tam giác ADE cân, ta có thể sử dụng điều đã chứng minh ở phần a. Lưu ý rằng điểm E là giao điểm của AE và BC. Bởi vì ED là đường cao từ điểm D xuống đáy BC, và AE cũng là đường cao từ điểm A xuống đáy DE trong tam giác ABE. Do đó, hai tam giác ABE và CDE có độ dài đáy AE và CE bằng nhau, cùng với AD là chung cạnh.

Từ đó, ta áp dụng định lý cạnh - góc - cạnh (CGC) cho hai tam giác ABE và CDE, và kết luận rằng tam giác ADE cũng cân.

c, Để chứng minh rằng ED // BC, ta xem xét hai tam giác BDE và ADE. Bởi vì ED là đường cao từ điểm D, và BD cũng là một tia phân giác, ta thấy rằng các góc BDE và ADE là bằng nhau (góc tại D). Từ đó, theo định lý góc đồng vị, nếu ED là đường cao và đồng thời là đường cơ bản của tam giác ADE, thì ED // BC.

d, Để chứng minh AI vuông góc với BC, ta sử dụng tính chất của các tia phân giác. Vì I nằm trên BD (tia phân giác) và nằm trên CA (tia phân giác), nên góc ABI = góc AIC, từ đó ta có: góc AID = 90 độ, chứng minh rằng AI vuông góc với BC.

Bên cạnh đó, vì ED // BC và I là giao điểm của hai tia phân giác, nên góc EDI là góc khác với góc AIB. Thực tế thì I cũng nằm trên đường phân giác, do đó AI cũng sẽ vuông góc với ED. Từ đó, AI vuông góc với ED.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng:

a. Tam giác IBC cân.
b. Tam giác ADE cân.
c. ED // BC.
d. AI vuông góc với BC và AI vuông góc với ED.