Tìm số tự nhiên x để biểu thức đạt gtln: Căn x + 2/ căn x- 3

Để tìm số tự nhiên \( x \) sao cho biểu thức \( \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x} - 3} \) đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần xem xét các điều kiện của biểu thức.

1. Xác định miền xác định:
Đầu tiên, biểu thức này chỉ có ý nghĩa khi \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \) và \( \sqrt{x} - 3 > 0 \). Do đó, ta cần:
- \( \sqrt{x} > 3 \)
- Điều này nghĩa là \( x > 9 \).

Vì chúng ta đang tìm số tự nhiên, nên \( x \) phải là số nguyên và lớn hơn 9, tức là \( x \geq 10 \).

2. Tính đạo hàm để tìm cực trị:
Ta đặt:
\( y = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x} - 3} \).

Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm \( y' \) và giải phương trình \( y' = 0 \):
- Đạo hàm của \( \sqrt{x} \) là \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
- Đạo hàm của \( \frac{2}{\sqrt{x} - 3} \) có thể sử dụng quy tắc đạo hàm thương:

\( \left( \frac{2}{u} \right)' = -\frac{2u'}{u^2} \), với \( u = \sqrt{x} - 3 \).
Ta có \( u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \), nên:
\( \left( \frac{2}{\sqrt{x} - 3} \right)' = -\frac{2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} - 3)^2} = -\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)^2} \).

Do đó, đạo hàm \( y' \) là:
\( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)^2} \).

Để tìm các giá trị cực trị, ta đặt \( y' = 0 \):
\( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)^2} = 0 \).
Giải phương trình này để tìm giá trị của \( x \).

Sau khi tính toán, ta sẽ có các giá trị \( x \) tương ứng và cần kiểm tra các điểm này để xác định giá trị lớn nhất của biểu thức.

3. Kiểm tra các giá trị:
- Ta cần kiểm tra các giá trị \( x = 10, 11, 12, ... \) cho đến khi thấy xu hướng của biểu thức.
- Tính biểu thức cho từng \( x \) và so sánh.

Cuối cùng, sau khi tính toán và so sánh, ta có thể tìm ra giá trị lớn nhất của biểu thức cho các giá trị tự nhiên của \( x \) mà đã kiểm tra.