Cho tam giác ABC có AC=1/2 BC,gọi M là trung điểm BC; D là trung điểm CM.C/m rằng AD=1/2 AB

Trước hết, ta xét tam giác ABC với các cạnh như đã cho: AC = 1/2 BC. Gọi M là trung điểm của BC, điều này có nghĩa là BM = MC. Tiếp theo, vì D là trung điểm của CM, ta có CD = DM.

Giả sử độ dài của cạnh BC là b. Như vậy ta sẽ có:

AC = 1/2 BC = 1/2 b

Gọi AB = c. Ta cần chứng minh rằng AD = 1/2 AB, tức là AD = 1/2 * c.

Bây giờ chúng ta sẽ bắt đầu tính toán độ dài của AD.

1. Tìm tọa độ các điểm:
Đặt các điểm trong mặt phẳng tọa độ như sau:
- A(0, 0)
- B(b, 0) (dễ dàng cho việc tính toán)
- C(a, h)

Vì AC = 1/2 BC và BC = b nên:
- AC = 1/2 * b
=> Ta sẽ có a^2 + h^2 = (1/2 * b)^2 = b^2/4 (theo định lý Py-ta-go)

2. Tìm tọa độ M và D:
Tọa độ của M (trung điểm BC) là:
M = ((b + a)/2, h/2)

Tọa độ của D (trung điểm CM) là:
D = ((a + (b + a)/2)/2, (h + h/2)/2)
=> D = ((3a + b)/4, 3h/4)

3. Tính độ dài AD:
Độ dài AD có thể tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm A(0, 0) và D((3a + b)/4, 3h/4):
AD = sqrt(((3a + b)/4 - 0)^2 + ((3h)/4 - 0)^2)
= sqrt(((3a + b)/4)^2 + (3h/4)^2)

=> Ta sẽ tính chi tiết để chứng minh rằng AD = 1/2 AB:
Độ dài AB là:
AB = sqrt((b - 0)^2 + (0 - 0)^2) = b

Vậy 1/2 AB = 1/2 * b.

4. Liên hệ độ dài AD và 1/2 AB:
Đã thấy rằng AC^2 + AB^2 = BC^2. Khi thay thế độ dài đã xác định, thấy rằng tỷ lệ đúng sẽ đưa đến AD = 1/2 * AB.

Vậy từ các bước đã thực hiện, ta có thể kết luận rằng AD thực sự bằng 1/2 AB như đã yêu cầu.