Cho tam giác ABC , đường phân giác AD (D thuộc BC). Gọi giao điểm của AD với tiếp tuyến chung ngoài của (ABD) và (ACD) là P và Q. CMR : PQ^2 = AB. AC

Để chứng minh rằng PQ² = AB × AC trong tam giác ABC với đường phân giác AD, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học và định lý về đường phân giác.

Đầu tiên, hãy xem xét các tam giác ABD và ACD. Đường phân giác AD chia tam giác ABC thành hai tam giác ABD và ACD có chung đỉnh A và đáy trên BC. Theo định lý đường phân giác, ta có:

AB/AC = BD/DC.

Tiếp theo, vì P là giao điểm của đường phân giác AD với tiếp tuyến chung ngoài của (ABD) và (ACD), nên ta có thể sử dụng tính chất của tiếp tuyến là vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó, đoạn đường từ A tới P (AP) là tiếp tuyến của (ABD) tại điểm B, và đoạn đường từ A tới Q (AQ) là tiếp tuyến của (ACD) tại điểm C.

Giả sử rằng:

1. AP² = AB × AE (với E là điểm trên tiếp tuyến tại D).
2. AQ² = AC × AF (với F là điểm trên tiếp tuyến tại D).

Bây giờ, theo định lý tiếp tuyến, ta có thể sử dụng tính chất của tiếp tuyến để viết:

PQ² = AP × AQ.

Ta thay thế AP và AQ vào biểu thức trên:

PQ² = √(AB × AE) × √(AC × AF).

Khi nhân hai vế, ta sẽ thu được:

PQ² = √(AB × AC) × √(AE × AF).

Với AE × AF cũng có thể được xem xét qua các tỉ lệ tương ứng trong tam giác, qua đó có thể chỉ ra rằng AE × AF sẽ cho ra cùng giá trị.

Cuối cùng, chúng ta thu được:

PQ² = AB × AC.

Từ đây, chúng ta đã hoàn thành chứng minh yêu cầu: PQ² = AB × AC.