chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó ( t tính được GA=GB rồi còn lại mấy bạn làm giúp ạ, gợi ý: chứng minh GA=GB=GC)

Để chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh A, B, C, ta sẽ tính độ dài GA, GB và GC.

Trong tam giác đều, tất cả các cạnh đều bằng nhau, ta giả sử độ dài mỗi cạnh là a. Trọng tâm G của tam giác được tính toán từ các đỉnh A, B, C như sau:

1. Tọa độ các điểm:
- Gọi A, B, C lần lượt có tọa độ:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a/2, (√3/2) * a)

2. Tọa độ trọng tâm G:
Trọng tâm G của tam giác được tính là:
G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3) = ((0 + a + a/2)/3, (0 + 0 + (√3/2) a)/3) = (a/2, (√3/6) a)

3. Tính độ dài GA:
GA = √((xG - xA)² + (yG - yA)²)
= √((a/2 - 0)² + ((√3/6) * a - 0)²)
= √((a/2)² + ((√3/6) * a)²)
= √((a²/4) + (3a²/36))
= √((a²/4) + (a²/12))
= √((3a²/12) + (a²/12))
= √(4a²/12) = √(a²/3)
= (a/√3)

4. Tính độ dài GB:
GB = √((xG - xB)² + (yG - yB)²)
= √((a/2 - a)² + ((√3/6) * a - 0)²)
= √((−a/2)² + ((√3/6) * a)²)
= √((a²/4) + (3a²/36))
= √((a²/4) + (a²/12)) = (a/√3)

5. Tính độ dài GC:
GC = √((xG - xC)² + (yG - yC)²)
= √((a/2 - a/2)² + ((√3/6) a - (√3/2) a)²)
= √(0 + (−(√3/3) * a)²)
= √((√3/3)² * a²) = (a/√3)

Từ tất cả các bước trên, ta thấy rằng:
GA = GB = GC = (a/√3)

Vậy trọng tâm G cách đều 3 đỉnh A, B, C của tam giác đều ABC, điều này khẳng định rằng G là trọng tâm của tam giác đều và luôn cách đều các đỉnh của nó.