Lập phương trình tổng quát của mặt pahngwr `(MNP)` với `M(1;1;1), N(4;3;2), P ( 5;2;1)`

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M, N, P, trước hết chúng ta cần tìm vectơ norm của mặt phẳng này. Bước đầu tiên là xác định hai vectơ nằm trên mặt phẳng bằng cách lấy hiệu tọa độ của các điểm.

Tính các vectơ:

1. Vectơ `MN` từ M đến N:
MN = N - M = (4 - 1; 3 - 1; 2 - 1) = (3; 2; 1)

2. Vectơ `MP` từ M đến P:
MP = P - M = (5 - 1; 2 - 1; 1 - 1) = (4; 1; 0)

Bây giờ, ta cần tính tích vô hướng (cross product) của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến (normal vector) của mặt phẳng:

N = MN × MP.

Tính toán:

N = |i j k|
|3 2 1|
|4 1 0|

Tính các định thức nhỏ:

N_x = 20 - 11 = 0 - 1 = -1
N_y = -(30 - 14) = 0 + 4 = 4
N_z = 31 - 24 = 3 - 8 = -5

Vậy vectơ pháp tuyến (normal vector) N = (-1; 4; -5).

Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0,

với (x0, y0, z0) là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng (có thể là M), và (a, b, c) là các hệ số trong vectơ pháp tuyến.

Chọn điểm M(1; 1; 1):

-1(x - 1) + 4(y - 1) - 5(z - 1) = 0.

Khai triển phương trình:

-1x + 1 + 4y - 4 - 5z + 5 = 0,
-x + 4y - 5z + 2 = 0,
hay x - 4y + 5z = 2.

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) là:

x - 4y + 5z = 2.