Bài1: a)cho A =3+3²+3³+3⁴+.....+3⁹⁰.Chứng minh A chia hết cho 11 và 13 b)Tìm các số nguyên a,b biết rằng :a/7–1/2=1/b+3

a) Để chứng minh A chia hết cho 11 và 13, trước tiên ta có thể tính giá trị của A theo công thức tổng của một cấp số nhân.

A = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^90. Đây là một cấp số nhân với a1 = 3 (số hạng đầu tiên) và q = 3 (tỉ số).

Tổng S của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bằng công thức:

S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Với n = 90, ta có:

A = 3 (1 - 3^90) / (1 - 3) = 3 (1 - 3^90) / (-2) = (3^91 - 3) / 2

Để chứng minh A chia hết cho 11 và 13, ta cần xem xét A (mod 11) và A (mod 13).

Chia A cho 11:

Trước tiên, ta sẽ tính 3^90 (mod 11). Theo định lý Fermat, 3^10 ≡ 1 (mod 11) nên 3^90 ≡ (3^10)^9 ≡ 1^9 ≡ 1 (mod 11). Vậy:

A = (3^91 - 3) / 2 = (3 3^90 - 3) / 2 = 3 (3^90 - 1) / 2 ≡ 3 * (1 - 1) / 2 ≡ 0 (mod 11)

Hệ quả là A chia hết cho 11.

Chia A cho 13:

Tương tự như trên, ta tính 3^90 (mod 13). Theo định lý Fermat, 3^12 ≡ 1 (mod 13) ⇒ 3^90 ≡ 3^6 (mod 13). Để tìm 3^6 (mod 13), ta có:

3^6 = 729. Khi chia 729 cho 13, ta có 729 ≡ 3 (mod 13).

Do đó:

A = (3^91 - 3) / 2 = (3 3^90 - 3) / 2 = 3 (3^90 - 1) / 2
≈ 3 (3 - 1) / 2 = 3 2 / 2 = 3 ≡ 3 (mod 13).

Như vậy A không chia hết cho 13.

Kết luận là A chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 13.

b) Phương trình a/7 - 1/2 = 1/b + 3. Để tìm các số nguyên a và b, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đưa về một phương trình rõ ràng hơn. Ta nhân toàn bộ phương trình với 14b (b để tránh mẫu 0 và 14 để đưa mọi thứ về cùng số nguyên):

14b (a/7) - 14b (1/2) = 14b (1/b) + 14b 3
⇒ 2ab - 7b = 14 + 42b

Bước 2: Tổ hợp và đưa các hạng tử về một phía:

2ab - 7b - 42b = 14
⇒ 2ab - 49b = 14

Bước 3: Rút gọn và kết luận

2b(a - 24.5) = 14
⇒ b(a - 24.5) = 7

Bước 4: Để a, b đều là số nguyên, trong đó b là 1, 7 hoặc -1, -7. Có thể kiểm tra chúng để tìm các giá trị:

- Nếu b = 1: a - 24.5 = 7 ⇒ a = 31.5 (không phải số nguyên)
- Nếu b = -1: a + 24.5 = -7 ⇒ a = -31.5 (không phải số nguyên)
- Nếu b = 7: a - 24.5 = 1 ⇒ a = 25.5 (không phải số nguyên)
- Nếu b = -7: a + 24.5 = -1 ⇒ a = -25.5 (không phải số nguyên)

Vậy ta không tìm thấy cặp số nguyên a và b thoả mãn phương trình đã cho.