Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung diểm của AB, F là trung điểm CD a, c/m: tứ giác AECF là hình bình hành b, DE cắt AC tại I, BF cắt BF cắt AC ở K. c/m: AB,BD,EF đồng quy c, C/m: AI=CK

a. Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, trước tiên chúng ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

- Vì E là trung điểm của AB, nên ta có: AE = EB.
- Tương tự, vì F là trung điểm của CD, nên ta có: CF = FD.

Bây giờ, để chứng minh rằng hai cạnh AE và CF song song, chúng ta sẽ dựa vào tính chất của hình bình hành.

- Vector AE = (E - A) và Vector CF = (F - C).
- Trong hình bình hành ABCD, vector AD // vector BC, tức là AD và BC song song. Tổng hợp lại, ta thấy được rằng vector AE vừa là phần của AD, vừa là phần của BC, do đó AE song song với CF.

Tương tự, ta có thể chỉ ra rằng:
- Vector AC // Vector EF. Lý do là EF là đoạn nối giữa hai trung điểm, do đó EF // AC theo tính chất của đoạn thẳng nối hai trung điểm của một hình thang.

Cuối cùng, vì cả hai cặp cạnh AE // CF và AC // EF cùng bằng nhau và song song, chúng ta kết luận AECF là hình bình hành.

b. Để chứng minh rằng AB, BD, EF đồng quy, chúng ta sẽ sử dụng định lý đồng quy của ba đường thẳng.

- Đầu tiên, ta sẽ sử dụng sức mạnh của định lý hình học: trong hình bình hành, đường chéo sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.
- Gọi O là giao điểm của AC và BD. Theo tính chất của hình bình hành, O sẽ là trung điểm của cả AC và BD.

Bây giờ xem xét đường thẳng EF:
- Vì E và F là trung điểm của AB và CD, lần lượt, E và F sẽ nằm trên nghề đường dây thẳng của đường chéo AC.
- Do đó, từ các điểm A, B, D và EF nếu được nối lại cũng sẽ đi qua giao điểm O.

Vì vậy, chúng ta kết luận rằng ba đường thẳng AB, BD và EF đồng quy tại một điểm duy nhất.

c. Để chứng minh AI = CK, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các điểm trung điểm.

- Gọi O là giao điểm của AC và BD như đã chứng minh ở phần b. Theo tính chất của hình bình hành, O là trung điểm của cả AC và BD, tức là AO = OC và BO = OD.
- Như đã nói trước, vì E và F là trung điểm của AB và CD, mỗi sẽ phân tách đoạn AB và CD thành hai đoạn bằng nhau.

- Do đó, ta có:
AI = AO - EI (vì AI là đoạn từ A tới I, trừ đi đoạn từ A tới điểm E).
CK = CO - FK (tương tự cho đoạn CK).

Bởi vì O là trung điểm, AI và CK đều chia các đoạn thành các đoạn bằng nhau, có nghĩa là AI = CK.

Kết luận: AI = CK, điều này chứng minh rằng khoảng cách từ A đến I bằng khoảng cách từ C đến K.