Cho ∆ABC cân tại A.Gọi M là trung điểm của BC.Kẻ MH vuông góc với AB tại H.MK vuông góc với AC tại K a,Chứng mình rằng : MH = MKb,Chứng mình ∆AHK cân c,Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt tia AM tại N.Chứng mình MH //

a. Để chứng minh rằng MH = MK, ta bắt đầu với ∆ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Khi đó, BM = MC. Vì MH vuông góc với AB và MK vuông góc với AC, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông.

Xét tam giác vuông ABM và ACM, vì M nằm ở giữa BC và MA = MB, ta có:

AM^2 + HM^2 = AH^2 (1)
AM^2 + KM^2 = AK^2 (2)

Vì ∆ABC cân, AH = AK. Do đó, từ (1) và (2), ta suy ra HM^2 = KM^2 dẫn đến MH = MK.

b. Để chứng minh ∆AHK cân, ta cần xem xét hai cạnh AH và AK. Vì ∆ABC là tam giác cân tại A, thì góc ABM = góc ACM. Do đó, góc AHM = góc AKM. Bởi M là trung điểm và MH = MK, ta có:

AH = AK (bằng nhau theo định nghĩa của tam giác cân)
Góc AHB = góc AKC (cùng phụ thuộc vào các cạnh đối diện)
Do vậy, ∆AHK là tam giác cân.

c. Ta cần chứng minh rằng MH // BN. Mặt phẳng vuông góc với AC tại C sẽ tạo ra tam giác vuông ACN tại C. Nếu ta xét tam giác AHM với MH vuông góc với AB và BN vuông góc với AM, ta có thể sử dụng khả năng song song và định nghĩa của tỉ lệ.

Vì MH vuông góc với AB, nên các đường thẳng vuông góc này sẽ đồng dạng. Do đó, theo định lý phương trình đường thẳng song song, ta có MH // BN.

d. Để chứng minh 3 điểm O, A, I thẳng hàng, ta xét tam giác AMI với MI = MO. Nếu AI song song với BC, ta có thể áp dụng định lý điều kiện phản xạ và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.

Vì MO = MI, và AM // IO (từ định lý song song của tam giác), ta có các tam giác này có tỉ lệ đối xứng. Từ đó, ta có O nằm trên đường thẳng AI. Điều này chứng minh rằng 3 điểm O, A, I thẳng hàng.