Em cần gấp ạ giúp em an

Để giải bài toán này, ta cần chứng minh bất đẳng thức \((P + 1)^2 \leq 2\) với \(P = \frac{2ab}{a + b + 1}\) và điều kiện \(a^2 + b^2 = 1\).

1. Tính giá trị của \(P\):
Sử dụng điều kiện \(a^2 + b^2 = 1\), ta có \( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 1 + 2ab \).
Từ đó, dễ dàng suy ra:
\[
ab = \frac{(a+b)^2 - 1}{2}
\]

2. Đặt biến:
Để đơn giản hóa bài toán, ta đặt \(s = a + b\) và \(p = ab\). Theo định lý Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
s^2 = (a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) = 2
\]
Từ đó ta suy ra \(s^2 \leq 2 \Rightarrow |s| \leq \sqrt{2}\).

3. Thay vào biểu thức \(P\):
Ta có:
\[
P = \frac{2p}{s + 1}
\]
và do \(p = ab = \frac{s^2 - 1}{2}\), nên:
\[
P = \frac{2\cdot \frac{s^2 - 1}{2}}{s + 1} = \frac{s^2 - 1}{s + 1}
\]

4. Tính \((P + 1)^2\):
\[
P + 1 = \frac{s^2 - 1}{s + 1} + 1 = \frac{s^2 - 1 + s + 1}{s + 1} = \frac{s^2 + s}{s + 1}
\]
Do đó:
\[
(P + 1)^2 = \left(\frac{s^2 + s}{s + 1}\right)^2
\]

5. Chứng minh bất đẳng thức:
Ta cần chứng minh:
\[
\left(\frac{s^2 + s}{s + 1}\right)^2 \leq 2
\]
Phương trình này tương đương với:
\[
(s^2 + s)^2 \leq 2(s + 1)^2
\]
Giải bất đẳng thức trên, ta nhận được kết quả khi \(s^2 \leq 2\) (mà như đã đề cập \(s^2 \leq 2\) từ định lý Cauchy-Schwarz).

6. Kết luận:
Vì mọi bước đều đúng và trên mọi điều kiện đặt ra, ta có thể khẳng định rằng \((P + 1)^2 \leq 2\) luôn đúng với điều kiện \(a^2 + b^2 = 1\).

Vậy chứng minh hoàn tất.