Cho N= 1x4/2x3 + 2x5/3x4 + 3x6/4x5 + + 97x100/98x99 + 98x101/99x100 Chứng minh N không phải là số tự nhiên.

Để chứng minh N không phải là số tự nhiên, ta cần tính giá trị của N.

N được định nghĩa là tổng của nhiều phân số:

N = 1x4/2x3 + 2x5/3x4 + 3x6/4x5 + ... + 97x100/98x99 + 98x101/99x100.

Ta viết lại các phân số trong N:

- Mỗi phân số có dạng k(k+3) / (k + 1)(k + 2), với k từ 1 đến 98.

Bây giờ hãy đơn giản hóa từng phân số:

- k(k+3) = k^2 + 3k.
- (k + 1)(k + 2) = k^2 + 3k + 2.

Khi phân tích, chúng ta sẽ thấy rằng:

k(k + 3) / (k + 1)(k + 2) = (k^2 + 3k) / (k^2 + 3k + 2).

Ta có thể biết rằng:

(k^2 + 3k + 2) = (k^2 + 3k) + 2.

Vậy nên:

k(k + 3) / (k + 1)(k + 2) = 1 - 2 / (k^2 + 3k + 2).

Như vậy, ta có thể viết lại N:

N = ∑ (1 - 2 / ((k + 1)(k + 2))) từ k = 1 đến 98.

N = ∑ 1 từ k = 1 đến 98 - 2 ∑ (1 / ((k + 1)(k + 2))) từ k = 1 đến 98.

- Tổng thứ nhất là 98 (có 98 số hạng).
- Tổng thứ hai có thể được tính bằng cách sử dụng phân tích thành thể hiện của phân số:

1 / ((k + 1)(k + 2)) = 1/(k + 1) - 1/(k + 2).

Vì vậy, N có thể viết lại thành:

N = 98 - 2 * (1/2 - 1/99).

Giải tổng này sẽ giúp us hiểu được dạng kết quả. Hội tụ số hạng từ 1/2 đến 1/99 sẽ cho ra một kết quả dương.

Cuối cùng, ta có thể ký hiệu tổng lại, và bây giờ, vấn đề là liệu N có phải là số tự nhiên hay không.

Rõ ràng rằng tổng tay rời gồm phần nguyên và phân số sẽ cho kết quả không phải là số tự nhiên vì trong tổng là hai phần trị:

- Phần nguyên: 98
- Phần nào đó từ tổng thứ hai, khi kết hợp sẽ cho một số không nguyên.

Do đó, khi tính tổng N, nó đã không cho ra số nguyên, chứng tỏ N không phải là số tự nhiên.