Cho A = $frac{1}{4}$ + $frac{1}{9}$ + $frac{1}{16}$ + ... + $frac{1}{2014^{2} }$ chứng tỏ rằng A nhỏ hơn $frac{3}{4}$ ai cứu tui nhanh ngày kia tui thi rùi

Để chứng minh rằng A = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{16}$ + ... + $\frac{1}{2014^{2}} < \frac{3}{4}$, trước hết ta chú ý rằng dãy các số hạng trong A có thể được viết dưới dạng tổng $\sum_{n=2}^{2014} \frac{1}{n^2}$ (bắt đầu từ n=2 vì $\frac{1}{1^2}$ không được tính vào A).

Ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức trong toán học để đánh giá giá trị của A. Đặc biệt, chúng ta biết rằng tổng $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$, và tổng này hội tụ nhanh. Để ước lượng tốt hơn cho tổng của chúng ta, ta có thể xin xét tổng từ n=2 đến n=2014:

1. Bắt đầu với tổng $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$:
2. Ta biết rằng, tổng $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.646$. Do đó, tổng từ n=2 trở đi sẽ là $\frac{\pi^2}{6} - 1$ (loại bỏ phần đầu tiên $\frac{1}{1^2}$ ra).

3. Tính $\frac{\pi^2}{6} - 1$:
- $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.646 \implies \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \approx 1.646 - 1 = 0.646$.

4. Ta chỉ cần tổng từ 2 đến 2014 trong A nên giá trị của A sẽ nhỏ hơn giá trị của tổng vô hạn đó.

5. Cụ thể, tổng từ 2 đến 2014 chỉ đến hạng gần 2014 mà không mở rộng ra vô hạn. Khi đó, ta có:
- $\sum_{n=2}^{2014} \frac{1}{n^2}$ sẽ nhỏ hơn $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

6. Do đó, A = $\sum_{n=2}^{2014} \frac{1}{n^2} < 0.646$.

7. Cuối cùng, vì $0.646 < \frac{3}{4}$, ta đã chứng minh được rằng A < $\frac{3}{4}$.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công cận trên cho A, rằng A nhỏ hơn $\frac{3}{4}$.