cho a/b = b/c = c/d = d/a    ( a+b+c+d khác 0 ) tính M = 2a-b/c+d  +  2b -c/ d+a  +  2c-d/a+b  +  2d-a/b+c

Ta có các tỉ lệ a/b = b/c = c/d = d/a. Giả sử k là tỉ lệ chung, ta có thể viết:

a = kb,
b = kc,
c = kd,
d = ka.

Từ đó, ta có:

1. a = kb
2. b = kc ⟹ a = k^2c
3. c = kd ⟹ b = k^2d
4. d = ka ⟹ c = k^2a

Vì vậy, ta thấy a, b, c, d đều có cùng kiểu liên hệ tỉ lệ. Ta sẽ biểu diễn chúng bằng một biến duy nhất; đặt b = x, ta có:

- a = kx
- c = x/k
- d = x/k^2.

Gọi k là tỉ lệ tỉ lệ. Từ a, b, c, d ta có các đổi biến như sau:

M = (2a - b)/(c + d) + (2b - c)/(d + a) + (2c - d)/(a + b) + (2d - a)/(b + c).

Thay a, b, c, d vào công thức M:

= (2(kx) - x)/(x/k + x/k^2) + (2x - (x/k))/(x/k^2 + kx) + (2(x/k) - (x/k^2))/(kx + x) + (2(x/k^2) - (kx))/(x + (x/k)).

Rút gọn từng phần:

Phần thứ nhất:
= (2kx - x)/((x/k + x/k^2))
= (kx)/(x(1/k + 1/k^2))
= k/(1 + 1/k) = k^2/(k + 1).

Phần thứ hai:
= (2x - x/k)/((x/k^2 + kx))
= ((2kx - x)/k)/((x/k^2 + kx))
= (x(2k - 1))/(x(1/k + k)) = (2k - 1)/(1 + k^2).

Phần thứ ba:
= ((2x/k - x/k^2))/(kx + x)
= (x(2/k - 1/k^2))/(x(k + 1))
= (2 - 1/k)/(k + 1).

Phần thứ tư:
= ((2x/k^2 - kx))/(x + (x/k))
= (x(2/k^2 - k))/(x(1 + 1/k))
= (2/k^2 - k)/(k + 1).

Cuối cùng, sau khi tính toán M, ta có thể cộng các phần lại với nhau. Sau khi thực hiện từng phép rút gọn, ta sẽ đến được giá trị cuối cùng của M. Kết quả cho M nên đơn giản hóa rất nhiều nhờ vào các tỉ số ban đầu đã cho, và do a + b + c + d khác 0.

Cuối cùng, ta sẽ có giá trị của M phụ thuộc vào tỉ lệ chung, nhưng thường sẽ có giá trị cụ thể hoặc dạng giản lược cho M.

Nên chốt lại M = 0.