Câu 5. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( ; ) O R cắt nhau tại điểm A . Cho biết OA = 2R , giao điểm của OA và đường tròn ( O R )là I a) Chứng minh ABO  90o và tính số đo

a) Để chứng minh rằng góc ABO = 90 độ, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến. Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) tại điểm B, nên góc AOB sẽ vuông với tiếp tuyến AB tại điểm B. Tương tự, AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm C, nên góc AOC vuông với AC tại điểm C. Do đó, ta có:

Góc AOB + Góc AOC = 180 độ.

Vì OA = 2R, I sẽ là giao điểm của OA và đường tròn (O, R), tức là I nằm trên đường tròn. Do đó, góc AOB + góc AOC = 180 độ, và theo tính chất của góc ở tâm chắn cung, thì góc BIC sẽ bằng 2 lần góc ở tâm chắn cung BI, tức là:

Góc BIC = 2 * Góc BI → Góc BI = 90 độ.

b) Để chứng minh AO vuông góc với BC tại trung điểm của BC, trước tiên điều này có thể được chỉ ra bởi hình vẽ. M vì hai tiếp tuyến tại B và C đều vuông góc với OA, có nghĩa là AB và AC đều vuông góc với AO. Bây giờ, do A là một điểm bên ngoài đường tròn, và BC là hợp điểm của hai tiếp tuyến từ A, nên AO sẽ nằm trong mặt phẳng các tia vẽ từ A đến B và C.

Theo định lý về đường cao trong tam giác, nếu một điểm thuộc đường trung bình, và nó nằm trên đường cao từ một đỉnh, thì đường thẳng đi qua đỉnh và tiếp điểm sẽ vuông góc với cạnh tương ứng. Do đó, AO vuông góc với BC tại trung điểm.

c) Để tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến AB, AC, và cung nhỏ BC, ta tính diện tích của hình quạt và trừ đi diện tích của tam giác ABC. Diện tích hình quạt có thể được tính bằng công thức:

Diện tích hình quạt = 1/2 R^2 góc ở tâm.

Góc ở tâm có thể tính từ góc BIC, mà chúng ta đã chứng minh ở phần a là 90 độ. Do đó, diện tích hình quạt bằng:

Diện tích hình quạt = 1/2 R^2 (π/2) = R^2 * π/4.

Sau đó tính diện tích tam giác ABC. Với AB = AC = 2R (vì OA = 2R và là tiếp tuyến), và BC là cạnh đáy, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác:

Diện tích tam giác = 1/2 đáy chiều cao.

Ở đây chiều cao là OA và đáy BC có thể tính từ bán kính đường tròn. Từ đó diện tích phần mặt phẳng sẽ là:

Diện tích = Diện tích hình quạt - Diện tích tam giác.

Cuối cùng, diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC sẽ cho ra giá trị cuối cùng.