Cho tam giác  ABC có ba góc nhọn. Đường tròn O  đường kính  BC cắt hai cạnh AB,AC  lần lượt tại các điẻmE,F  . Gọi H  là giao điểm củaEC   và BF .Gọi K  là trung điểm của đoạn thẳng AH   Chứng minh  góc EBF=GÓC EFK

Để chứng minh góc EBF = góc EFK trong tam giác ABC như đã mô tả, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm:
- Gọi O là trung điểm của cạnh BC và là tâm của đường tròn đường kính BC.
- Điểm E là giao điểm của đường tròn O với cạnh AB và F là giao điểm của đường tròn O với cạnh AC.

2. Tính chất của đường tròn:
- Vì O là trung điểm của BC, nên đoạn thẳng BO = OC và BC là đường kính của đường tròn O. Theo tính chất của hình tròn, góc EBF sẽ có đỉnh tại E và chắn cung BF của đường tròn O. Tương tự, góc EFK cũng chắn cung BF.

3. Góc tiếp tuyến và cung:
- Xét góc EBF: Góc này được tạo thành bởi tiếp tuyến tại E với đường tròn O và đường thẳng BF. Do đó, góc EBF sẽ tương đương với góc chắn trên cung EF.
- Xét góc EFK: Góc này được tạo ra giữa đường thẳng EF và đường thẳng FK. Vì K là trung điểm của AH, AE và AF là hai phần của hai cạnh tam giác được chia bởi H, tạo thành hai tam giác nhỏ hơn.

4. Sử dụng tính chất về tương đương:
- Do hai góc càng chắn cùng một cung thì chúng sẽ bằng nhau. Trong trường hợp này, cả hai góc EBF và EFK đều chắn cung BF của đường tròn O, nên theo tính chất này ta có: góc EBF = góc EFK.

Tóm lại, nhờ tính chất của các góc được tạo thành từ các dây cung của một đường tròn và đặc điểm của điểm K là trung điểm, ta đã chứng minh rằng góc EBF = góc EFK.