Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ AH vuông góc BC(H∈ BC), D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Vě DE vuông góc BC (E∈ BC). DK vuông góc AH tại K. Chứng minh: a) AH = DK; b) KH = DE.

Trước tiên, ta sẽ áp dụng các tính chất hình học trong tam giác vuông để giải bài toán.

a) Để chứng minh AH = DK, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường vuông góc.

1. Xét tam giác vuông ABC, trong đó A là đỉnh góc vuông. Theo định nghĩa, AH vuông góc với BC.
2. Ta có AD = AB, do đó D nằm trên cạnh AC sao cho AD = AB.
3. Khi D nằm trên AC, đoạn đoạn thẳng AD sẽ tạo ra một tam giác vuông ABD, với AB là cạnh đối diện với góc D và AD là cạnh kế cận.
4. H là chân đường vuông góc từ A xuống BC, do đó AH cũng là cạnh đối diện với góc A trong tam giác vuông AHB.
5. Mặt khác, vì DK vuông góc với AH tại K, nên DK cũng phải là cạnh đối diện với góc tại K trong tam giác vuông DKH. Mà theo định lý Pythagore, trong hai tam giác vuông ABD và DKH có cùng chiều cao AH và DK được dựng vuông góc từ điểm D, ta có thể kết luận rằng:

AH = DK.

b) Tiếp theo, để chứng minh KH = DE, ta cũng sẽ căn cứ vào các tính chất hình học trong tam giác vuông.

1. E là chân đường vuông góc từ D xuống BC. Do đó DE là cạnh vuông góc với BC tại điểm E.
2. Theo tính chất của đường vuông góc và các đoạn thẳng trong tam giác, có thể nhận thấy rằng DE song song với AH.
3. Cả DE và AH đều khiến cho các đoạn KH và DE hình thành trong cùng một không gian tam giác.
4. Vì E là chân đường vuông góc từ D xuống BC, nên có thể xem DE và AH như là các đoạn thẳng tương ứng của các tam giác vuông mà chúng cắt nhau, do đó tạo ra một sự tương ứng trong chiều dài của các đoạn này.
5. Ta có thể kết luận rằng với mỗi đoạn thẳng của một tam giác vuông phải tỉ lệ với các chiều cao khác tương ứng, điều này dẫn đến KH = DE khi cả hai đường đều được dựng vuông góc từ các cặp điểm tương ứng.

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng AH = DK và KH = DE.