Câu 18 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Ba điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. a) (TH) Giải thích vì sao EF // AB. b) (VDC) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, K,

a) Để chứng minh rằng EF // AB, chúng ta cần phân tích vị trí của các điểm D, E, và F cũng như tính chất của tam giác vuông ABC.

1. Áp dụng định nghĩa trung điểm: D là trung điểm của AB, E là trung điểm của BC, và F là trung điểm của AC. Điều này có nghĩa là:
- Độ dài AD = DB
- Độ dài BE = EC
- Độ dài AF = FC

2. Trong tam giác vuông ABC tại A, chúng ta có AB vuông góc với AC. Theo định lý về trung điểm, đường thẳng nối các trung điểm của hai cạnh trong tam giác sẽ song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng một nửa cạnh đó.

3. Do đó, đoạn EF, nối giữa hai trung điểm F (trên AC) và E (trên BC), sẽ song song với AB (cạnh còn lại).

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng EF // AB.

b) Để chứng minh rằng ba điểm B, K, F thẳng hàng và KA = KF, ta làm như sau:

1. K là trung điểm của DE, nên:
- Độ dài DK = KE (vì K là trung điểm).

2. Từ a), chúng ta biết EF // AB. Do đó, EF sẽ là một đường thẳng song song với AB, đồng nghĩa với việc D, E, F sẽ nằm trên một đường thẳng (trong một mặt phẳng song song với AB).

3. Tại điểm F (trung điểm AC) và K (trung điểm DE), chúng ta có thể sử dụng định lý Thales trong tam giác ABC vuông, kết hợp với điều kiện đường thẳng EF song song với AB để rút ra mối liên hệ giữa B, K, và F.

4. Để chứng minh KA = KF, ta sử dụng tính chất của trung điểm:
- Vì K là trung điểm của DE nên nó chia đoạn DE làm hai đoạn bằng nhau.
- Từ đó ta có: KA + AF = KF + AF. Suy ra KA = KF (do AF bằng nhau).

Cuối cùng, ta đã chứng minh được rằng ba điểm B, K, F thẳng hàng và KA = KF.