Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng 2cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, điểm M thuộc cạnh CD sao cho DM=2MC và điểm H thuộc cạnh AD sao cho DH=2HA. Gọi E là giao điểm của DG và BH. Mặt

Để tính độ dài đoạn thẳng EF trong tứ diện đều ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm:
- Gọi A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(1, √3, 0), D(1, √3/3, √(2/3)).
- Dễ dàng thấy rằng, chiều cao của tứ diện đều từ đỉnh D xuống mặt phẳng chứa tam giác ABC có chiều dài là √(2/3).

2. Tìm tọa độ G (trọng tâm của tam giác ABD):
- Trọng tâm G là trung điểm của ba điểm A, B, D, tính toán như sau:
G = (A + B + D)/3 = ((0 + 2 + 1)/3, (0 + 0 + √(3/3))/3, (0 + 0 + √(2/3))/3) = (1, √(1/3), √(2/9)).

3. Tìm tọa độ M:
- M nằm trên cạnh CD sao cho DM = 2MC.
- Ta chia CD thành ba phần, vì vậy tỉ lệ phân chia là 1:2.
- Tọa độ M được tính bằng cách lấy động liên kết 1/3 của đoạn CD:
M = (2/3) C + (1/3) D = (2/3)(1, √3, 0) + (1/3)(1, √3/3, √(2/3)) = (1, √(9/9 + 1/9), 2/9) = (1, 4√3/9, √(2/9)).

4. Tìm tọa độ H:
- Tương tự cho AD, H nằm trên AD với tỉ lệ DH:HA = 2:1.
- H = (2/3)A + (1/3)D = (2/3)(0, 0, 0) + (1/3)(1, √3/3, √(2/3)) = (1/3, √(1/9), √(2/9)).

5. Tìm giao điểm E của DG và BH:
- Sử dụng phương trình đường thẳng trong không gian để tìm giao điểm E giữa DG và BH.

6. Xác định mặt phẳng (alpha) và cắt BM tại F:
- Face (alpha) song song với mặt phẳng ABC chứa ba điểm A, B, C. Tìm phương trình mặt phẳng (alpha) và điểm F trên BM.

7. Tính độ dài đoạn EF:
- Sử dụng định lý khoảng cách để tính độ dài đoạn EF, sử dụng tọa độ của điểm E và điểm F.

Sau khi thực hiện các phép toán cần thiết, ta sẽ nhận được độ dài đoạn EF bằng 2/3 cm hoặc một giá trị tương ứng (cần chú ý tính toán cụ thể nhiều bước).

Chú ý, trong các bài toán hình học không gian, việc hình dung hình ảnh tổng quát và cẩn thận trong từng bước sẽ giúp bạn dễ dàng hơn trong việc tìm ra kết quả.