Tìm hiệu điện thế tăng tốc U mà prôtôn vượt qua để cho kích thước của nó trong hệ qui chiếu gắn với trái đất giảm đi hai lần. Cho mp = 1,67.10-27 kg, e = 1,6.10-19 C.

Để giải bài toán này, chúng ta cần phải cân nhắc về định nghĩa của hiệu điện thế tăng tốc U và cách mà nó liên quan đến năng lượng của hạt. Khi prôtôn được tăng tốc trong một điện trường, nó sẽ nhận được một năng lượng tương ứng với hiệu điện thế mà nó vượt qua.

1. Năng lượng động năng của prôtôn: Năng lượng động năng của một hạt có khối lượng m và vận tốc v được tính theo công thức:

\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]

2. Hiệu điện thế tăng tốc: Khi prôtôn di chuyển qua một hiệu điện thế U, năng lượng mà nó thu được là:

\[ W = eU \]

trong đó e là điện tích của prôtôn.

3. Sự thay đổi kích thước: Theo khái niệm trong lý thuyết tương đối, khi tốc độ của một vật thể tiếp cận vận tốc ánh sáng, chiều dài của nó sẽ giảm xuống (hiệu ứng co chiều dài). Nếu chiều dài giảm đi hai lần, thì nghĩa là:

\[ L' = \frac{L}{2} \]

4. Tốc độ đạt được: Để một prôtôn giảm kích thước xuống phân nửa, nó cần đạt một tốc độ nhất định mà ta có thể tính toán từ công thức co chiều dài:

Theo lý thuyết tương đối, kích thước của một vật di chuyển với vận tốc v được tính bằng:

\[ L' = L\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]

với c là tốc độ ánh sáng. Từ đây, khi \( L' = \frac{L}{2} \), ta có:

\[ \frac{L}{2} = L\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]

Rút gọn, ta có:

\[ \frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]

Bình phương hai vế:

\[ \frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \]

Suy ra:

\[ \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad v = c\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}c \]

5. Tính năng lượng tương ứng: Chủ yếu, để xác định hiệu điện thế U mà prôtôn cần vượt qua, ta tiếp tục tính năng lượng tương ứng. Chúng ta sử dụng công thức động năng trong trường hợp tương đối.

Theo lý thuyết tương đối:

\[ K = \gamma mc^2 - mc^2 \]

với \( \gamma \) là hệ số Lorentz, được tính như sau:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = 2 \]

Từ đó, ta có:

\[ K = (2 - 1)mc^2 = mc^2 \]

6. Về năng lượng mà prôtôn cần để tăng tốc: Ta biết rằng hiệu điện thế U đem lại năng lượng eU. Do đó:

\[ eU = mc^2 \]

Suy ra:

\[ U = \frac{mc^2}{e} \]

7. Tính giá trị U: Thay các giá trị vào:

- m = \( 1.67 \times 10^{-27} \) kg
- c = \( 3 \times 10^8 \) m/s
- e = \( 1.6 \times 10^{-19} \) C

Tính \( mc^2 \):

\[
mc^2 = (1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})(3 \times 10^8 \text{ m/s})^2 \approx 1.503 \times 10^{-10} \text{ J}
\]

Sau đó tính hiệu điện thế U:

\[
U = \frac{1.503 \times 10^{-10} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} \approx 9.39 \times 10^8 \text{ V} = 939 \text{ MV}
\]

Do đó, hiệu điện thế tăng tốc \( U \) mà prôtôn cần vượt qua để kích thước của nó trong hệ quy chiếu gắn với Trái Đất giảm đi hai lần là khoảng 939 MV.