Cho hình vuông `ABCD` . Biết `A(2;-1),C(-4;5)`  `a,` Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp `ABCD` `b,` Tìm tọa độ `B` và `D`

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để tính toán các điểm và phương trình cần thiết.

a. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình vuông `ABCD`.

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có tâm là trung điểm của đoạn chéo hình vuông và bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến một trong bốn đỉnh của hình vuông.

1. Tính tọa độ trung điểm `O` của đoạn chéo `AC`.
Tọa độ điểm `O` tính theo công thức trung bình cộng tọa độ các điểm:
O_x = (A_x + C_x) / 2 = (2 + (-4)) / 2 = -1
O_y = (A_y + C_y) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2
Vậy tọa độ trung điểm `O` là `(-1; 2)`.

2. Tính bán kính `R`.
Bán kính là khoảng cách từ điểm `O` đến một trong các đỉnh của hình vuông, chúng ta tính khoảng cách từ `O` đến `A`:
R = √[(A_x - O_x)² + (A_y - O_y)²]
R = √[(2 - (-1))² + (-1 - 2)²] = √[(2 + 1)² + (-3)²]
R = √[3² + (-3)²] = √[9 + 9] = √18 = 3√2.

3. Viết phương trình đường tròn.
Phương trình đường tròn có dạng (x - O_x)² + (y - O_y)² = R².
Thay vào giá trị:
(x + 1)² + (y - 2)² = (3√2)²
(x + 1)² + (y - 2)² = 18.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp hình vuông `ABCD` là:
(x + 1)² + (y - 2)² = 18.

b. Tìm tọa độ `B` và `D`.

Vì hình vuông `ABCD` có các đỉnh đối diện là `A` và `C`, nên chúng ta có thể tìm được tọa độ của các đỉnh `B` và `D` thông qua việc sử dụng điểm `O` và độ dài cạnh của hình vuông.

1. Tính độ dài cạnh của hình vuông.
Độ dài cạnh `s` của hình vuông được tính bằng khoảng cách từ `A` đến `C` chia cho √2 (do diagonals của hình vuông bằng độ dài cạnh nhân với √2).
s = √[(C_x - A_x)² + (C_y - A_y)²] / √2
s = √[(-4 - 2)² + (5 - (-1))²] / √2
s = √[(-6)² + (6)²] / √2
s = √[36 + 36] / √2 = √(72) / √2 = 6 / √2 = 3√2.

2. Tìm tọa độ của các điểm `B` và `D`.
Các điểm `B` và `D` sẽ nằm trên các đường thẳng vuông góc với `AC` và cùng có tọa độ với `O`, nhưng dịch chuyển bán kính `R/√2` về hai phía.
Vậy tọa độ của `B` và `D` sẽ được tính như sau:
- `B` nằm cách `O` một khoảng `s/2 = (3√2)/2` theo hướng vuông góc với đoạn `AC`.
Tọa độ `B` sẽ là:
B_x = O_x + (s/2 (-1/sqrt(2))) = -1 + (3√2/2 (-1/√2)) = -1 - 3/2 = -2.5
B_y = O_y + (s/2 (1/sqrt(2))) = 2 + (3√2/2 (1/√2)) = 2 + 3/2 = 3.5
Vậy tọa độ `B` là `(-2.5; 3.5)`.

- `D` sẽ nằm ở phía đối diện của `B`. Tọa độ `D` sẽ là điểm đối xứng của `B` qua `O`.
D_x = O_x - (s/2 * (-1/sqrt(2))) = -1 - (3/2) = -4.5
D_y = O_y - (s/2 * (1/sqrt(2))) = 2 - (3/2) = 0.5
Vậy tọa độ `D` là `(-4.5; 0.5)`.

Tóm lại, tọa độ các điểm là:
- B = (-2.5; 3.5)
- D = (-4.5; 0.5)