e, $frac{y^3-x^3}{x^3-3x^2y+3xy^2-y^3}$ f, $frac{x^3-2x^2+3x-6}{5x-10}$ g, $frac{2x^2y-3xy^2}{5x^3y^4}$ h, $frac{8x^2-8xy+2y^2}{y^2-4x^2}$

e, $\frac{y^3-x^3}{x^3-3x^2y+3xy^2-y^3}$

Khi xét biểu thức này, ta nhận thấy rằng cả tử và mẫu đều có thể được quy về các đa thức bậc ba. Tử được viết lại thành $-(x^3 - y^3)$ và mẫu được viết thành $(x - y)^3$. Như vậy, ta có:

y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + xy + x^2).

x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x-y)^3.

Khi rút gọn ta sẽ có:

$$\frac{-(x-y)(y^2 + xy + x^2)}{(x-y)^3} = \frac{-(y^2 + xy + x^2)}{(x-y)^2}$$.

Vì vậy, đây sẽ là kết quả cuối cùng.

f, $\frac{x^3-2x^2+3x-6}{5x-10}$

Trước tiên, có thể đơn giản hóa mẫu số $5x - 10 = 5(x-2)$.Ở tử số, ta có thể phân tích đa thức bằng cách sử dụng phương pháp phân tích đa thức hoặc chia đa thức.

Áp dụng thuật toán chia đa thức, ta sẽ nhận được kết quả là:

$$\frac{x^3-2x^2+3x-6}{5(x-2)} = \frac{1}{5} \left(\frac{x^3-2x^2+3x-6}{x-2}\right)$$

Sau đó, ta tính toán phần tử số. Khi chia $x^3 - 2x^2 + 3x - 6$ cho $x - 2$, ta sẽ thấy phần được chia có thể được viết lại một cách trực tiếp. Khi chia, ta tìm thấy $\frac{x^3-2x^2+3x-6}{x-2}=x^2+x+3$ và phần dư là $0$, vì vậy, kết quả cuối cùng là:

$$ \frac{1}{5}(x^2+x+3) $$.

g, $\frac{2x^2y-3xy^2}{5x^3y^4}$

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa bằng cách factoring ra từ tử. Cụ thể:
2x^2y−3xy^2=x y(2x−3y).

Do đó, biểu thức trở thành:

$$\frac{xy(2x-3y)}{5x^3y^4} = \frac{2x-3y}{5x^2y^3}$$.

Kết quả cuối cùng sẽ là $\frac{2x-3y}{5x^2y^3}$.

h, $\frac{8x^2-8xy+2y^2}{y^2-4x^2}$

Mẫu số $y^2 - 4x^2$ có thể được viết dưới dạng hiệu của 2 bình phương: $(y-2x)(y+2x)$.

Tử là $8x^2 - 8xy + 2y^2$, có thể được phân tích như sau:

$$8x^2 - 8xy + 2y^2 = 2(4x^2 - 4xy + y^2) = 2(4x^2 - 4xy + y^2)$$

Để đơn giản hóa hơn nữa, ta có thể viết lại tử số thành:

$$2((y-2x)^2)$$.

Vì vậy, biểu thức giờ trở thành:

$$\frac{2(y-2x)^2}{(y-2x)(y+2x)} = \frac{2(y-2x)}{(y+2x)}$$.

Kết quả cuối cùng là $\frac{2(y-2x)}{(y+2x)}$.