tìm tọa độ các đỉnh,độ dài các trục ,tiêu cự,tiêu điểm ,tâm sai cuả elip:(E):4x²+9y²=1

Để tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm và tâm sai của elip (E): 4x² + 9y² = 1, ta sẽ tiến hành như sau:

Bước 1: Đặt phương trình elip về dạng chuẩn

Phương trình cho elip có dạng tổng quát là:

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

Trong đó (h, k) là tọa độ tâm của elip, a là bán trục dài (trục x), và b là bán trục ngắn (trục y).

Để đưa elip đã cho vào dạng chuẩn, ta sẽ chia cả hai vế của phương trình cho 1:

4x² + 9y² = 1
=> (x²/ (1/4)) + (y²/ (1/9)) = 1
=> (x²/(1/4)) + (y²/(1/9)) = 1

Từ đó ta có a² = 1/4 và b² = 1/9.

Bước 2: Tính a và b

a² = 1/4 ⇒ a = √(1/4) = 1/2

b² = 1/9 ⇒ b = √(1/9) = 1/3

Bước 3: Xác định tọa độ của tâm

Tâm của elip là (h, k). Trong phương trình trên, tâm là (0, 0) vì không có h và k trong phương trình.

Bước 4: Xác định tọa độ các đỉnh và độ dài các trục

- Đỉnh theo trục x (bán trục dài): tọa độ là (±a, 0) = (±1/2, 0)
- Đỉnh theo trục y (bán trục ngắn): tọa độ là (0, ±b) = (0, ±1/3)

Độ dài của các trục:
- Độ dài trục lớn (trục x) là 2a = 2*(1/2) = 1
- Độ dài trục nhỏ (trục y) là 2b = 2*(1/3) = 2/3

Bước 5: Tính tiêu cự và tọa độ tiêu điểm

Tiêu cự c của elip được tính bằng công thức:

c = √(a² - b²)

c = √(1/4 - 1/9) = √(9/36 - 4/36) = √(5/36) = √5/6

Tọa độ các tiêu điểm (c, 0) và (-c, 0):

Các tiêu điểm của elip là (√5/6, 0) và (-√5/6, 0).

Bước 6: Tính tâm sai

Tâm sai e được tính bằng công thức:

e = c/a

Từ đó, ta có:

e = (√5/6) / (1/2) = √5/3.

Tóm tắt kết quả:

- Tọa độ tâm: (0, 0)
- Tọa độ các đỉnh: (±1/2, 0) và (0, ±1/3)
- Độ dài trục lớn: 1
- Độ dài trục nhỏ: 2/3
- Tọa độ tiêu điểm: (√5/6, 0) và (-√5/6, 0)
- Tâm sai: √5/3.