Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên hai cạnhAB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn điqua một điểm cố định.

Xét tam giác cân ABC, trong đó AB = AC. Gọi D và E lần lượt là các điểm trên hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE.

Để chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định, ta sẽ thực hiện như sau:

1. Xác định Đường tròn: Nối D và E, ta có đoạn DE. Đường trung trực của DE là đường thẳng vuông góc với DE tại trung điểm M của DE. Đường thẳng này có tính chất rằng bất kỳ điểm nào nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng, đều có khoảng cách đến hai đầu đoạn thẳng đó là bằng nhau.

2. Sử dụng Tính Chất của Tam giác Cân: Do tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có: AB = AC. Đặt AD = CE = x (với x bất kỳ). Khi D và E di chuyển trên AB và AC, đoạn DE sẽ thay đổi nhưng luôn giữ được AD = CE.

3. Định Lý Về Tam Giác: Để chứng minh rằng đường trung trực của DE đi qua một điểm cố định, ta cần chỉ ra rằng một điểm cố định tồn tại với mọi vị trí của D và E. Gọi H là điểm trên cạnh BC, là chân đường cao từ A xuống BC. Khi D và E di chuyển, góc A không thay đổi (vì A là đỉnh của tam giác cân).

4. Bằng chứng địa lý: Với mọi vị trí D và E, ta có thể xác định được các khoảng cách AD và CE, và do đó, các điểm trên đường trung trực của DE vẫn giữ được khoảng cách đều từ điểm H (như đã chứng minh ở bước 3).

5. Kết Luận: Như vậy, cho bất kỳ vị trí nào của D và E, đường trung trực của DE đều đi qua điểm cố định H trên cạnh BC. Điều này thực sự chứng tỏ rằng trung trực của DE không chỉ là một đường thẳng thay đổi, mà còn luôn đi qua một điểm cố định.

Điều này được hoàn tất bằng việc sử dụng các thuộc tính của tam giác cân và các định lý về phương vị trong hình học.