Cho tứ diện ABCD có AB =AD=AC=2 và  Góc BAC = BAD=60°,CAD=90°. Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng AB và DM

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số khái niệm trong hình học không gian và phương pháp tọa độ. Bắt đầu, chúng ta sẽ đặt các điểm A, B, C và D trong không gian 3 chiều.

1. Đặt tọa độ các điểm:
- Gọi A là điểm gốc: A(0, 0, 0).
- Vì AB = 2 và góc BAC = 60°, ta sẽ đặt B trên trục x: B(2, 0, 0).
- Để đặt C, dùng AB = AC = 2 và góc BAC = 60°.
- Mặt phẳng chứa A, B, C sẽ tạo ra một tam giác đều với cạnh 2. Ta có thể đặt C sao cho C nằm trên mặt phẳng chứa AB và tạo với AB một góc 60°.
- Về mặt tọa độ, C sẽ có tọa độ: C(1, √3, 0) dựa vào tính chất của các góc và độ dài cạnh.
- Để xác định D, dùng điều kiện góc BAD = 60° và CAD = 90°.
- Từ vị trí của A, B, C trên mặt phẳng, chúng ta cần tìm D sao cho BAD = 60° và CAD = 90°.
- Để thuận tiện, ta đặt D nằm trên đường thẳng thẳng đứng từ A lên trục z, tức là tọa độ của D sẽ có dạng D(0, 0, z) với z là giá trị cần tìm.
- Sử dụng điều kiện AB = AD = 2 và tính toán, ta tìm được D = (0, 0, √(4-0)) = (0, 0, 2).

2. Tìm M, trung điểm của CD:
- Tọa độ của C là (1, √3, 0) và D là (0, 0, 2).
- Vậy M, trung điểm của CD, có tọa độ:
M = ((1 + 0)/2, (√3 + 0)/2, (0 + 2)/2) = (0.5, √3/2, 1).

3. Tính vectơ AB và DM:
- Vectơ AB: B - A = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0).
- Vectơ DM: M - D = (0.5, √3/2, 1) - (0, 0, 2) = (0.5, √3/2, -1).

4. Tính góc giữa AB và DM:
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ u và v: cos(θ) = (u.v) / (|u| * |v|).
- Tính tích vô hướng: u.v = (2, 0, 0) • (0.5, √3/2, -1) = 2 0.5 + 0 (√3/2) + 0 * (-1) = 1.
- Tính độ dài các vectơ:
|u| = √(2^2 + 0^2 + 0^2) = 2,
|v| = √((0.5)^2 + (√3/2)^2 + (-1)^2) = √(0.25 + 0.75 + 1) = √2.
- Áp dụng vào công thức:
cos(θ) = 1 / (2 * √2) = 1 / (2√2).
- Từ đó, tìm được góc θ:
θ = cos^(-1)(1 / (2√2)).

Góc tạo bởi 2 đường thẳng AB và DM là θ = cos^(-1)(1 / (2√2)).