Cho G=$frac{x}{$sqrt[]{x}$+2}$ với x≥0 tìm giá trị nhỏ nhất của G $sqrt[]{x}$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm G = x / (√x + 2) với x ≥ 0, chúng ta đầu tiên cần phân tích điểm cực trị của hàm này.

1. Đặt biến phụ: Đặt t = √x, khi đó x = t^2, và điều kiện là t ≥ 0. Hàm G có dạng mới như sau:

G(t) = t^2 / (t + 2)

2. Tính đạo hàm: Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm G và giải phương trình G'(t) = 0.

G(t) = t^2 / (t + 2)

Sử dụng quy tắc chia để tính đạo hàm:

G'(t) = ( (t + 2)(2t) - t^2(1) ) / (t + 2)^2

= (2t^2 + 4t - t^2) / (t + 2)^2

= (t^2 + 4t) / (t + 2)^2

3. Giải phương trình G'(t) = 0:

Đặt t^2 + 4t = 0

t(t + 4) = 0

Từ đây ta có hai nghiệm: t = 0 hoặc t = -4. Tuy nhiên, t = -4 không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0, do đó, ta chỉ có t = 0.

4. Tính giá trị của G tại t = 0:

G(0) = 0^2 / (0 + 2) = 0 / 2 = 0

5. Xem xét giới hạn khi t → ∞:

Khi t tăng đến ∞, ta có:

G(t) = t^2 / (t + 2) ≈ t (nghĩa là G(t) tăng đến ∞)

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của G là G(0) = 0, và đó là giá trị này xảy ra tại x = 0 (t = 0).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm G trên tập hợp x ≥ 0 là 0.