Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến: 1.A=x^2+4x+7 2.B=y^2-y+1 3.C=(x-3)(x-5)+4 4.D=(x^2+2x)^2-4(x^2+2x)+10 5.E=x^2+3+y^2-2xy

1. Để chứng minh rằng A = x^2 + 4x + 7 luôn dương với mọi giá trị của x, ta có thể xem A như là một đa thức bậc 2 với a = 1, b = 4, c = 7. Để xét dấu của A, ta sử dụng công thức tính discriminant (Δ):
Δ = b^2 - 4ac = 4^2 - 417 = 16 - 28 = -12.
Vì Δ < 0, nên đa thức này không có nghiệm thực, đồng nghĩa với việc nó luôn cùng dấu với hệ số a. Vì a = 1 > 0, nên A luôn dương với mọi x.

2. Đối với B = y^2 - y + 1, ta tính Δ của một đa thức bậc 2 với a = 1, b = -1, c = 1:
Δ = (-1)^2 - 411 = 1 - 4 = -3.
Tương tự như trên, Δ < 0 nghĩa là B luôn dương. Hệ số a > 0 nên B > 0 với mọi y.

3. Để xét C = (x-3)(x-5) + 4, trước tiên ta mở rộng biểu thức:
C = x^2 - 8x + 15 + 4 = x^2 - 8x + 19.
Tính Δ:
Δ = (-8)^2 - 4119 = 64 - 76 = -12.
Δ < 0 cho thấy C không có nghiệm thực và luôn cùng dấu với hệ số a > 0. Do đó, C luôn dương.

4. Với D = (x^2 + 2x)^2 - 4(x^2 + 2x) + 10, đặt t = x^2 + 2x, ta có:
D = t^2 - 4t + 10.
Tính Δ:
Δ = (-4)^2 - 4110 = 16 - 40 = -24.
Vì Δ < 0, đa thức này cũng luôn dương. Hệ số a = 1 > 0 nên D > 0 với mọi x.

5. Cuối cùng, với E = x^2 + 3 + y^2 - 2xy, ta có thể viết lại:
E = (x - y)^2 + 3.
Rõ ràng (x - y)^2 ≥ 0 với mọi x, y, do đó E ≥ 3. Vì vậy, E luôn dương với mọi giá trị của x và y.

Như vậy, tất cả các biểu thức A, B, C, D, và E đều luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của các biến tương ứng.