Tìm số nguyên x biết 2x-3/x-1 là số nguyên

Để tìm số nguyên x sao cho biểu thức (2x - 3) / (x - 1) là một số nguyên, ta sẽ phân tích điều kiện này.

1. Đầu tiên, đặt \( k = \frac{2x - 3}{x - 1} \), với k là một số nguyên. Từ đây, ta sẽ biến đổi phương trình này để tìm x.

2. Nhân cả hai vế với \( (x - 1) \):
\( k(x - 1) = 2x - 3 \).

3. Phát triển vế trái và chuyển tất cả về một phía:
\( kx - k = 2x - 3 \)
\( kx - 2x = -3 + k \)
\( (k - 2)x = k - 3 \).

4. Để \( x \) trở thành số nguyên, \( k - 3 \) phải chia hết cho \( k - 2 \):
\( x = \frac{k - 3}{k - 2} \).

5. Để \( x \) là một số nguyên, điều kiện cần là \( k - 3 \) phải chia hết cho \( k - 2 \). Ta sẽ xem xét các giá trị của \( k \).

6. Xét trường hợp khi \( k - 2 \) khác 0, tức là \( k \neq 2 \). Lúc này, ta có thể đưa ra điều kiện chia hết:
\[ k - 3 = m(k - 2) \]
với m là một số nguyên.

7. Giải phương trình này cho k, ta có:
\( k - 3 = mk - 2m \)
suy ra:
\( k(1 - m) = 3 - 2m \)
tức là:
\( k = \frac{3 - 2m}{1 - m} \).

8. Tại mỗi giá trị của m (m là số nguyên), ta sẽ tìm ra giá trị k. Sau đó, thay giá trị k vào \( x = \frac{k - 3}{k - 2} \) để tính x.

9. Xét một số giá trị của k:
- Khi k = 3, thì:
\( x = \frac{3 - 3}{3 - 2} = 0 \) (là một số nguyên).
- Khi k = 4:
\( x = \frac{4 - 3}{4 - 2} = \frac{1}{2} \) (không phải là số nguyên).
- Khi k = 1:
\( x = \frac{1 - 3}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2 \) (là một số nguyên).
- Khi k = 0:
\( x = \frac{0 - 3}{0 - 2} = \frac{-3}{-2} \) (không phải là số nguyên).

10. Xét thêm giá trị âm cho k:
- Khi k = -1:
\( x = \frac{-1 - 3}{-1 - 2} = \frac{-4}{-3} \) (không phải là số nguyên).
- Khi k = -2:
\( x = \frac{-2 - 3}{-2 - 2} = \frac{-5}{-4} \) (không phải là số nguyên).
- Khi k = -3:
\( x = \frac{-3 - 3}{-3 - 2} = \frac{-6}{-5} \) (không phải là số nguyên).

Khi tổng hợp lại, các giá trị của x mà làm cho biểu thức \( (2x - 3)/(x - 1) \) là số nguyên bao gồm x = 0 và x = 2. Thế là, kết luận cuối cùng là x có thể nhận các giá trị:

x = 0 hoặc x = 2.