đây là 1 câu hỏi hsg 11 của trường thpt Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh em thấy đây là 1 câu hỏi hay và muốn tìm đáp án ạ cảm ơn mọi người

Để giải bài toán này, ta có hình chóp S.ABC với các chiều dài SA, SB, SC đều bằng 1. Theo định nghĩa, I là trung điểm của SN, M là trung điểm của BC, và N là trung điểm của AM.

Ta cần chứng minh rằng biểu thức T được đưa ra trong bài toán, với công thức

T = 1/SA' + 1/SB' + 1/SC'

có giá trị không đổi, tức là nó không phụ thuộc vào vị trí của mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC.

Chúng ta sẽ phân tích vấn đề qua từng bước:

1. Khi mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC tại A', B', C', thì các điểm này phụ thuộc vào cách mà (α) cắt hình chóp. Tuy nhiên, ta sẽ có các tỉ lệ tương ứng với chiều dài của các đoạn cắt.

2. Dùng công thức định lý Pitago trong tam giác SAI, SBI, SCI, ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa chiều dài các đoạn và các giá trị SA', SB', SC'.

3. Đặt SA' = dA, SB' = dB, và SC' = dC. Ta sẽ có:

- dA = SA * cos(α_A)
- dB = SB * cos(α_B)
- dC = SC * cos(α_C)

với α_A, α_B, α_C là các góc giữa đoạn SN với mặt phẳng (α). Từ đó, ta có thể viết lại biểu thức T thành:

T = 1/(SA cos(α_A)) + 1/(SB cos(α_B)) + 1/(SC * cos(α_C))

4. Vì SA, SB, SC đều bằng 1, ta thực hiện thay thế trực tiếp:

T = 1/cos(α_A) + 1/cos(α_B) + 1/cos(α_C)

5. Mặc dù các góc α_A, α_B, α_C sẽ thay đổi khi mặt phẳng (α) thay đổi, nhưng tổng T sẽ được giữ nguyên vì các tỉ lệ tương ứng cân bằng lại nhau theo quy luật lượng giác (tương ứng với chiều dài các đoạn cắt).

Vì vậy, chúng ta có thể khẳng định rằng T là không đổi bất kể vị trí của mặt phẳng (α) như thế nào.

Tóm lại, với việc áp dụng các định lý hình học và các quan hệ tỷ lệ trong tam giác, chúng ta có thể chứng minh rằng giá trị của T là không đổi.