Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB đến (O) (B là tiếp điểm). Vẽ BE là đường kính của (O). Dựng đường cao BC của ∆OAB, tia BC cắt (O) tại D (D khác B) a) Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O) bằng đường trung

Để chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) bằng đường trung trực, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Củng cố kiến thức: Theo định nghĩa, một đường thẳng là tiếp tuyến với đường tròn khi tại điểm tiếp xúc, nó vuông góc với bán kính đi qua điểm tiếp xúc đó. Đường trung trực của đoạn AB chính là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai điểm A và B.

2. Thiết lập các điểm: Gọi M là điểm trên đường trung trực của đoạn AB. Theo tính chất của đường trung trực, ta có MA = MB.

3. Xem xét căn cứ: Bởi vì B là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến AB với đường tròn (O), nên OB vuông góc với AB tại B (tính chất của tiếp tuyến).

4. Sử dụng tam giác OAB: Trong tam giác OAB, ta có các đoạn thẳng OB là bán kính và AB là tiếp tuyến. Theo định lý đường trung trực, nếu M là điểm trên đường trung trực của AB và cách đều A và B, thì M cũng phải nằm trên đường tròn (O) khi đoạn thẳng OM vuông góc với AB.

5. Chứng minh AD vuông góc với OB: Giả sử D là điểm mà đường cao BC cắt đường tròn (O) lần thứ hai. Khi đó, AD sẽ cắt OB tại một điểm nào đó mà tại điểm này, nếu AD vuông góc với OB, thì sẽ chứng minh rằng AD là tiếp tuyến của (O).

6. Kết luận: Bởi vì đường trung trực của AB là một đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB, trong khi OB vuông góc với AB tại B, từ đó và vì D nằm trên (O) thì ta có: AD vuông góc với OB tại B. Như vậy AD chính là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) bằng đường trung trực.