Cho  `P=`$frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}$ `+`$frac{2x^2}{1-x^2}$ `-`$frac{6}{x-3}$ `(x`$ eq$ $mp$ `1;x`$ eq$ `3)` Rút gọn `P` và tìm giá trị nguyên của `x` sao cho `P` đạt giá trị nguyên

Để rút gọn biểu thức `P`, chúng ta sẽ xử lý từng phần trong biểu thức.

1. Phân tích phần thứ nhất:
`P1 = (2x - 6) / (x^3 - 3x^2 - x + 3)`.

Đầu tiên, ta sẽ tìm nghiệm của mẫu số:
`x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0`.
Có thể thử các nghiệm nguyên như 1, 2, 3.

- Với `x = 3`:
`3^3 - 3*3^2 - 3 + 3 = 27 - 27 - 3 + 3 = 0`.
Vậy x = 3 là nghiệm.

Tiến hành phân tích đa thức bằng phương pháp chia đa thức:
`(x^3 - 3x^2 - x + 3) ÷ (x - 3)`. Kết quả là:
`x^2 - 1`.
Vậy `x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 3)(x^2 - 1) = (x - 3)(x - 1)(x + 1)`.

Vậy ta có:
`P1 = (2x - 6) / ((x - 3)(x - 1)(x + 1)) = (2(x - 3)) / ((x - 3)(x - 1)(x + 1)) = 2 / ((x - 1)(x + 1)` (với x ≠ 3).

2. Phân tích phần thứ hai:
`P2 = 2x^2 / (1 - x^2) = 2x^2 / (-(x^2 - 1)) = -2x^2 / ((x - 1)(x + 1)` (với x ≠ ±1).

3. Phân tích phần thứ ba:
`P3 = -6 / (x - 3)` (với x ≠ 3).

4. Gộp lại các phần:
`P = P1 + P2 - P3 = (2 / ((x - 1)(x + 1))) + (-2x^2 / ((x - 1)(x + 1))) - (6 / (x - 3))`.

Ta sẽ đưa tất cả các phần về mẫu chung:
Mẫu chung sẽ là `(x - 1)(x + 1)(x - 3)`:
`P = [2 - 2x^2(x - 3) - 6((x - 1)(x + 1))] / [(x - 1)(x + 1)(x - 3)]`.

Tính toán tử số:
`2 - 2x^2(x - 3) - 6((x - 1)(x + 1))`.

Giản lược:
`-2x^3 + 6x^2 - 6(x^2 - 1) + 2 = -2x^3 + 6x^2 - 6x^2 + 6 + 2 = -2x^3 + 8`.

5. Biểu thức P:
Cuối cùng, ta có:
`P = (-2x^3 + 8) / [(x - 1)(x + 1)(x - 3)]`.

Để `P` là giá trị nguyên, `(-2x^3 + 8)` phải chia hết cho `(x - 1)(x + 1)(x - 3)`. Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị nguyên của `x`.

Với `-2x^3 + 8 = 0`:
`x = 2` là nghiệm. Thay `x = 2` vào biểu thức `P` kiểm tra, được:
`P = 0`, nó là giá trị nguyên.

Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị nguyên khác như `x = 0, 1, 3, 4,...`
- Với `x = 0`:
`P = 8/3`, không nguyên.

- Với `x = 1`:
`P không xác định`.

- Với `x = 3`:
`P không xác định`.

- Với `x = -1`:
`P = 2`, nguyên.

- Với `x = 4`:
`P = -2`, nguyên.

Vì vậy, các giá trị nguyên của `x` sao cho `P` nguyên là `x = 2, -1, 4`.