Viết phương trình đường thẳng đi qua `A(1;5)` và tạo với `d: x+2y-5=0` một góc `45^0`.

Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1,5) và tạo với đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 một góc 45 độ, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng d:
Đầu tiên, ta sẽ chuyển đổi phương trình d về dạng tổng quát y = mx + b, với m là hệ số góc.

Từ phương trình d:
x + 2y - 5 = 0, ta có:
2y = -x + 5
y = -1/2 * x + 5/2.

Vậy hệ số góc m của đường thẳng d là -1/2.

2. Sử dụng công thức liên quan đến góc giữa hai đường thẳng:
Giả sử đường thẳng cần tìm có hệ số góc là m1. Để tạo thành góc 45 độ với đường thẳng d, ta có công thức của góc giữa hai đường thẳng như sau:

tan(θ) = |(m1 - m2) / (1 + m1*m2)|.

Với θ = 45 độ, ta có tan(45) = 1. Do đó:
1 = |(m1 - (-1/2)) / (1 + m1*(-1/2))|.

Giả sử m1 là hệ số góc của đường thẳng cần tìm, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:
(m1 + 1/2) = (1 + m1*(-1/2))
=> m1 + 1/2 = 1 + m1*(-1/2)
=> m1 + 1/2 + m1/2 = 1
=> (3/2)m1 = 1 - 1/2
=> (3/2)m1 = 1/2
=> m1 = 1/3.

Trường hợp 2:
(m1 + 1/2) = -(1 + m1*(-1/2))
=> m1 + 1/2 = -1 - m1/2
=> m1 + 1/2 + m1/2 = -1
=> (3/2)m1 = -1 - 1/2
=> (3/2)m1 = -3/2
=> m1 = -1.

3. Viết phương trình đường thẳng:
Chúng ta có hai hệ số góc có thể: m1 = 1/3 hoặc m1 = -1.

- Nếu m1 = 1/3, phương trình đường thẳng có dạng:
y - 5 = (1/3)(x - 1)
=> 3(y - 5) = x - 1
=> x - 3y + 14 = 0.

- Nếu m1 = -1, phương trình đường thẳng có dạng:
y - 5 = -1(x - 1)
=> y - 5 = -x + 1
=> x + y - 6 = 0.

Cuối cùng, hai phương trình đường thẳng cần tìm là:

1. x - 3y + 14 = 0.
2. x + y - 6 = 0.