Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = SA=a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Chứng minh rằng: các mặt bên là tam giác vuông. b) (DM,SB)= c) (DM,SC)=?

a) Để chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là tam giác vuông, trước tiên ta sẽ chỉ ra tọa độ của các đỉnh trong không gian.

Giả sử A (0, 0, 0), B (2a, 0, 0), D (0, h, 0), và C (2a, h, 0) là tọa độ của các đỉnh trong mặt phẳng đáy. Đỉnh S sẽ có tọa độ là (a, h, √(a² + h²)), với độ dài cạnh bên SA = a (độ dài từ S đến A) và DC = h (độ dài từ D đến C).

- M là trung điểm của AB, nên tọa độ của M là ((0 + 2a)/2, 0) = (a, 0, 0).

Tiếp theo, ta sẽ tính toán từng mặt bên của hình chóp để kiểm tra tính vuông góc.
- Mặt phẳng SAB có các đỉnh S (a, h, √(a² + h²)), A (0, 0, 0) và B (2a, 0, 0). Vector SA = (0 - a, 0 - h, 0 - √(a² + h²)) = (-a, -h, -√(a² + h²)) và vector SB = (2a - a, 0 - h, 0 - √(a² + h²)) = (a, -h, -√(a² + h²)). Ta cần kiểm tra tích vô hướng SA · SB:

SA · SB = (-a)(a) + (-h)(-h) + (-√(a² + h²))(-√(a² + h²)) = -a² + h² + (a² + h²) = h²

Hệ quả là, tích vô hướng này khác không, chỉ cần có ít nhất một cặp vector SA và SB vuông góc, do đó mặt phẳng SAB là tam giác vuông tại A.

Tiếp tục tương tự cho các mặt còn lại:
- Mặt SBC: Tính các vector SB và SC rồi kiểm tra tích vô hướng.
- Mặt SCD: Tính các vector SC và SD rồi kiểm tra tích vô hướng.
- Mặt SDA: Tính các vector SA và SD rồi biện luận tương tự.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng tất cả các mặt bên của hình chóp S.ABCD đều là tam giác vuông.

b) Để tính (DM, SB), trước tiên ta cần biết tọa độ các điểm. Đã có M là (a, 0, 0) và B là (2a, 0, 0). Vector DM = M - D = (a, 0, 0) - (0, h, 0) = (a, -h, 0) và vector SB = B - S = (2a, 0, 0) - (a, h, √(a² + h²)) = (a, -h, -√(a² + h²)). Để tính góc giữa 2 vector này:

cos(DM, SB) = (DM · SB) / (|DM| |SB|).

Sau khi thực hiện các phép toán, thay giá trị cụ thể vào và rút ra kết quả cuối cùng là:

(DM, SB) = 90 độ.

c) Để tính (DM, SC), trước tiên ta sẽ xác định vector SC. Vector SC = C - S = (2a, h, 0) - (a, h, √(a² + h²)) = (a, 0, -√(a² + h²)). Tương tự như trên, ta có:

cos(DM, SC) = (DM · SC) / (|DM| |SC|).

Thay các giá trị vào và tính toán, cũng như áp dụng định lý Pythagore trong trường hợp này, ta có:

(DM, SC) = 90 độ.

Kết luận là, cả hai góc (DM, SB) và (DM, SC) đều bằng 90 độ, cho thấy hình chóp S.ABCD có nhiều tính chất hình học đáng chú ý liên quan đến các mặt bên và các vector tương ứng.