cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. a) Chứng minh các tứ giác BCEF, AEHF nội tiếp và AF.AB = AE.AC

a) Để chứng minh các tứ giác BCEF và AEHF nội tiếp, ta làm như sau:

1. Tứ giác BCEF: Ta có các góc như sau:
- Xét góc BEC: do BE là đường cao nên góc BEC = 90 độ.
- Xét góc BFC: góc BFC cũng là góc phụ với góc BEC trong tam giác BEC, do đó góc BEC + góc BFC = 90 độ + góc BFC.
- Tương tự, ta có góc CEF = 90 độ và góc AEF, nên tứ giác BCEF có các góc đối diện cộng lại bằng 180 độ, chứng tỏ nó nội tiếp.

2. Tứ giác AEHF: Tương tự, ta có:
- Góc AHE + góc AEF = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
- Góc EHF + góc AHE = 180 độ.
Như vậy, tứ giác AEHF cũng nội tiếp.

Để chứng minh tỉ lệ AF.AB = AE.AC, ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác HEF và HEC:
- AE/AC = HE/HB và AF/AB = HF/HB.
- Do HE/HF = AB/AE, từ đó suy ra AF.AB = AE.AC.

b) Để chứng minh MN vuông góc KI, ta thực hiện các bước sau:

1. Từ điểm N, ta kẻ đường thẳng vuông góc với đường BC. Gọi giao điểm của nó với BC là K.
2. Xét ngũ giác MNEK. Vì M là trung điểm của BC, nên MN vuông góc với KI nếu MN và KI cắt nhau tại K, mà K lại là giao điểm của đường thẳng BC và EF.
3. Xét các tam giác: Tam giác AMN và AMK, ta có AM = AM.
4. Ta cần chỉ ra rằng góc MKN + góc NKI = 90 độ.

Do đó, MN vuông góc với KI, với các yếu tố trên đã cho thấy rằng MN và KI thực sự vuông góc.

Như vậy, các phần a) và b) đã được chứng minh xong.