giúp aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaâ

Để chứng minh rằng phân số

\(\frac{5n + 3}{3n + 2}\)

là phân số tối giản với mọi số tự nhiên \(n\), ta sẽ sử dụng nguyên lý về tính nguyên tố.

1. Tìm ước chung: Một phân số \(\frac{a}{b}\) được gọi là tối giản nếu \(a\) và \(b\) chỉ có ước chung là 1. Do đó, để phân số \(\frac{5n + 3}{3n + 2}\) là tối giản, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của \(5n + 3\) và \(3n + 2\) là 1.

2. Sử dụng thuật toán Euclid: Để tính ƯCLN, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid. Đầu tiên, ta viết:

\[
d = \gcd(5n + 3, 3n + 2)
\]

theo định luật, ta có:

\[
d = \gcd(5n + 3 - k(3n + 2), 3n + 2)
\]

với \(k\) là một số nguyên. Chúng ta chọn \(k = 1\):

\[
d = \gcd(2n + 1, 3n + 2)
\]

3. Tiếp tục rút gọn: Áp dụng một lần nữa thuật toán Euclid:

\[
d = \gcd(2n + 1, 3n + 2 - \left(1\cdot(2n + 1)\right)) = \gcd(2n + 1, n + 1)
\]

4. Rút gọn tiếp: Tiếp tục rút gọn:

\[
d = \gcd(2n + 1 - 2(n + 1), n + 1) = \gcd(2n + 1 - 2n - 2, n + 1) = \gcd(-1, n + 1)
\]

5. Kết luận: Vì \(\gcd(-1, n + 1) = 1\) cho mọi \(n\), nên:

\(\gcd(5n + 3, 3n + 2) = 1\)

Do đó, phân số \(\frac{5n + 3}{3n + 2}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên \(n\).

### Câu 2:

Giả sử \(p\) là số nguyên tố, \(p > 3\), ta xem biểu thức \(4p + 1\).

1. Tính toán:

Nếu \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, thì \(p\) phải là số lẻ. Theo tính chất số nguyên tố, các số nguyên tố lớn hơn 3 đều ở dạng \(6k \pm 1\) (với \(k\) là số nguyên).

Xét hai trường hợp:

- Nếu \(p = 6k + 1\):

\[
4p + 1 = 4(6k + 1) + 1 = 24k + 4 + 1 = 24k + 5
\]

- Nếu \(p = 6k - 1\):

\[
4p + 1 = 4(6k - 1) + 1 = 24k - 4 + 1 = 24k - 3
\]

2. Xét tính nguyên tố của \(4p + 1\):

- Trường hợp \(4p + 1 = 24k + 5\):
- \(24k + 5\) là số lẻ, cần kiểm tra xem nó có phải nguyên tố hay không. Tuy nhiên, \(24k + 5\) có thể chia hết cho 5 nếu \(k\) nhất định.

- Trường hợp \(4p + 1 = 24k - 3\):
- Tương tự, kiểm tra tính nguyên tố cũng gặp những vấn đề tương tự.

### Kết luận:

Không thể khẳng định rằng \(4p + 1\) luôn là số nguyên tố hay hợp số. Cụ thể, \(4p + 1\) có thể là số nguyên tố hoặc có thể không phải là số nguyên tố tùy thuộc vào giá trị cụ thể của \(p\). Do đó, ta không thể đưa ra một kết luận tuyệt đối mà cần ví dụ cụ thể.