Chứng minh rằng: Tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác bằng 360 độ

Để chứng minh rằng tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác bằng 360 độ, ta bắt đầu với định nghĩa về góc ngoài.

Một góc ngoài của một tam giác được tạo ra khi mở rộng một cạnh của tam giác đó ra ngoài. Đối với mỗi đỉnh của tam giác, ta có thể vẽ một góc ngoài tương ứng. Giả sử tam giác có ba đỉnh A, B và C:

1. Định nghĩa góc ngoài tại mỗi đỉnh:
- Gọi góc ở đỉnh A là ∠A, góc ở đỉnh B là ∠B, và góc ở đỉnh C là ∠C.
- Góc ngoài tại đỉnh A được ký hiệu là ∠A_ext. Tương tự, góc ngoài tại B và C được ký hiệu là ∠B_ext và ∠C_ext.

2. Mối quan hệ giữa góc ngoài và góc trong:
- Theo tính chất của tam giác, góc ngoài ∠A_ext tại đỉnh A bằng tổng của hai góc trong không kề cạnh, tức là:
∠A_ext = ∠B + ∠C
- Tương tự, ta có các công thức cho hai đỉnh còn lại:
∠B_ext = ∠A + ∠C
∠C_ext = ∠A + ∠B

3. Tính tổng của ba góc ngoài:
- Bây giờ, ta cộng tất cả các góc ngoài lại:
∠A_ext + ∠B_ext + ∠C_ext = (∠B + ∠C) + (∠A + ∠C) + (∠A + ∠B)

4. Đơn giản hóa biểu thức:
- Khi ta cộng các góc trong lại, ta có:
∠A_ext + ∠B_ext + ∠C_ext = 2∠A + 2∠B + 2∠C
- Hay viết lại:
∠A_ext + ∠B_ext + ∠C_ext = 2(∠A + ∠B + ∠C)

5. Biết rằng tổng ba góc trong của một tam giác luôn bằng 180 độ (∠A + ∠B + ∠C = 180 độ):
- Thay vào biểu thức trên:
∠A_ext + ∠B_ext + ∠C_ext = 2 * 180 độ = 360 độ

Kết luận: Tổng ba góc ngoài tại ba đỉnh của một tam giác bằng 360 độ. Vì vậy, điều này chứng minh rằng tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác đúng như yêu cầu.